Un bar proyecto

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Conjuntos 1. Describa los elementos de los siguientes conjuntos. A = x|x2 − 1 = 0 . D = x|x3 − 2x2 + x = 2 . B = x|(x − 1)2 = 0 . E = x|(x + 8)2 = 92 . C = {x|x + 8 = 9}. F = x|(x2 + 16x)2 = 172 . 2. Para los conjuntos del ejercicio anterior, observe que B ⊆ A. Citar todas las relaciones de inclusi´n ⊆ que son v´lidas entre los conjuntos. o a 3. Sean A = {1}, B = {1, 2}. Discutir la validez delas afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qu´ las otras son falsas). e (a) A ⊂ B. (d) 1 ∈ A. (b) A ⊆ B. (e) 1 ⊆ A. (c) A ∈ B. (f) 1 ⊂ B. 4. Resolver el problema anterior pero si A = {1} y B = {{1}, 1}. 5. Dado un conjunto arbitarrio A y el conjunto vacio φ. ¿Es cierto que φ ⊆ A?. Es decir, ¿es cierto que el conjunto vacio es siempre un subconjunto de cualquierconjunto? 6. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntos de S. Note que en total hay 16. 7. Dados los cuatro conjuntos siguientes A = {1, 2}, B = {{1}, {2}}, C = {{1}, {1, 2}}, D = {1}, {2}, {1, 2}}, discutir la validez de las afirmaciones siguientes. (a) A = B. (d) A ∈ C. (g) B ⊂ D. (b) A ⊆ B. (e) A ⊂ D. (h) B ∈ D. (c) A ⊂ C. (f) B ⊂ C. (i) A ∈ D. 8. demostrar las propiedadessiguientes de la igualdad de conjuntos. (a) {a, a} = {a}. (b) {a, b} = {b, a}. (c) {a} = {b, c} si y s´lo si a = b = c. o 9. Demostrar las siguientes relaciones entre conjuntos. (a) A ∪ B=B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. (b) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. (c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

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Propiedades Algebraicas de R 10. Demuestre las siguientesafirmaciones. (a) Si ax = a para alg´n n´mero a = 0, entonces x = 1. u u (b) x2 − y 2 = (x − y)(x + y). (c) Si x2 = y 2 , entonces x = y o x = −y. (d) x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ). (e) xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 ). (f) Sea n ∈ N, entonces (−x)2n−1 = x2n−1 . (g) x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ). (h) Sea n ∈ N, con n impar. xn + y n = (x + y)(?). 11. Demuestre lassiguientes igualdades. (a) a = ac , si b, c = 0. b bc c (b) a + d = ad+bc , si b, d = 0. b bd (c) (ab)−1 = a−1 b−1 , si b, d = 0. c (d) a d = ac , si b, d = 0. b bd a b (e) c = ad , si b, c, d = 0. bc d c (f) Si b, d = 0, entonces a = d si y solo si ad = bc. Determinar tambi´n cuando es: e b b a = b a 12. Encontrar todos los n´meros x para los que: (a) 4 − x < 3 − 2x. u (b) 5 − x2 < 8. (c) 5 − x2 <−2. (d) (x − 1)(x − 3) > 0. (e) x2 − 2x + 2 > 0. (f) x2 + x + 1 > 2. (g) x2 − x + 10 > 16. (h) x2 + x + 1 > 0. 1 1 (i) x + 1−x > 0. (j) x−1 > 0. x+1 13. Demostrar lo siguiente: (a) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d. (b) Si a < b, entonces −b < −a. (c) Si a < b y c > d, entonces a − c < b − d. (d) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. (e) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. (f) Si a > 1,entonces a2 > a. (g) Si 0 < a < 1, entonces a2 < a. (h) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd. (i) Si 0 ≤ a < b, entonces a2 < b2 (j) Si a, b ≥ 0 y a2 < b2 , entonces a < b. 14. (a) Demostrar que si 0 ≤ x < y, entonces xn < y n . (b) Demostrar que si x < y y n es impar, entonces xn < y n . (c) Demostrar que si xn = y n y n es impar, entonces x = y. (d) Demostrar que si xn = y n y n es par, entoncesx = y o x = −y.

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15. Expresar lo siguiente prescindiendo de signos de valor absoluto, tratando por separado distintos casos cuando sea necesario. (a) |a + b| − |b|. (b) ||x| + 1|. (c) |x| − x2 . (d) a − |a − |a||. 16. Encontrar todos los n´meros x para los que se cumple: (a) |x − 3| = 8. u (b) |x − 3| < 8. (c) |x + 4| < 2. (d) |x − 1| + |x − 2| > 1. (e) |x − 1| + |x + 1| < 2. (f) |x − 1| +|x + 1| < 1. (g) |x − 1| |x + 1| = 0. (h) |x − 1| |x + 2| = 3. 17. El m´ximo de dos n´meros x e y se denota por max(x, y) y el m´ a u ınimo de x e y se denota por min(x, y). Demostrar que: max(x, y) = min(x, y) = x + y + |y − x| 2 x + y − |y − x| 2

Derivar adem´s una f´rmula para max(x, y, z) y min(x, y, z). a o 18. Demostrar que si x e y no son ambos cero, entonces: x2 + xy + y 2 > 0 x4 +...