Un Billon De Triangulos

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LECTURA

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Un billón de triángulos

22 de Setiembre, 2009 — Matemáticos de Norteamérica, Europa, Australia, y Sudamérica resolvieron el primer billón de casos de un antiguo problema de matemática. El avance fue posible mediante una técnica ingeniosa para multiplicar números grandes. Losnúmeros involucrados son tan enormes que si sus dígitos fueran escritos a mano llegarían hasta la luna y volverían. El mayor desafío fue que esos números ni siquiera podían entrar en la memoria principal de las computadoras disponibles, por lo que los investigadores tuvieron que hacer un uso extenso de los discos duros de las computadoras.
Según Brian Conrey, Director del Instituto Americano deMatemática, "Problemas viejos como éste pueden parecer oscuros, pero generan un montón de investigación útil e interesante a medida que se desarrollan nuevas formas de atacarlos."
El problema, que fue planteado por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con el área de los triángulos rectángulos. El problema, sorprendentemente difícil, consiste en determinar qué números enteros pueden ser elárea de un triángulo rectángulo cuyos lados son números enteros o fracciones. El área de un triángulo así se llama un "número congruente." Por ejemplo, el triángulo de lados 3-4-5 que los estudiantes aprenden en geometría tiene área 1/2 × 3 × 4 = 6; por lo tanto 6 es un número congruente. El número congruente más pequeño es el 5, que es el área de un triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3, y 41/6.| |
El triángulo de lados 3-4-5 tiene área 6. |
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Consecuencias y planes futuros Uno de los miembros del equipo, Bill Hart, hizo notar que "la parte difícil fue desarrollar una biblioteca general rápida de código de computadora para hacer este tipo de cálculos. habiendo logrado eso, no tomó mucho tiempo escribir el programa especializado que se precisó para este cálculo." El softwareutilizado para este cálculo está disponible libremente, y cualquiera con una computadora grande puede usarlo para romper el récord o hacer otros cálculos similares. Además de los avances prácticos requeridos para este resultado, la respuesta también tiene consecuencias teóricas. Según el matemático Michael Rubinstein de la Universidad de Waterloo, "algunos años atrás combinamos ideas de teoría denúmeros y de física para predecir el comportamiento estadístico de los números congruentes. Estoy muy complacido de ver que nuestra predicción es bastante precisa." Fue Rubinstein quien desafió al equipo a intentar este cálculo. El método de Rubinstein predice alrededor de 800 mil millones más de números congruentes hasta un cuadrillón, una predicción que podría ser verificada si se contara concomputadoras con un disco duro suficientemente grande. | | |
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Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala, por al-Karaji. |
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Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, y 21. Muchos números congruentes eran conocidos previamente a los nuevos cálculos. Por ejemplo, cualquier número en la sucesión 5, 13, 21, 29, 37, ..., es un número congruente. Sin embargo otras sucesionesparecidas, como 3, 11, 19, 27, 35, ..., son más misteriosas y cada número tiene que ser verificado individualmente.
El cálculo encontró 3,148,379,694 de estos números congruentes más misteriosos menores que un billón.

Historia del problema El problema de los números congruentes fue enunciado por primera vez por el matemático persa al-Karaji (953–1029). Su versión no involucraba triángulos, sinoque estaba expresada en términos de los números cuadrados, los números que son cuadrados de enteros 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100, 144/25, etc. Él preguntaba: ¿para qué números enteros n existe un cuadrado a2 tal que a2-n y a2+n también son cuadrados? Cuando esto sucede, n es llamado un número congruente. El nombre se da pues existen tres...