Un dialogo sobre el poder de michel foucault

FORMULACIÓN HAMILTONIANA: ECUACIONES

1. El punto de suspensión de un péndulo simple de masa m y de longitud l está obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y está conectado a un punto de la periferia de un volante de masa M y de radio a . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones delmovimiento de Hamilton.

x = 2a cosθ + l sin φ y = −l cos φ & & & x = −2asinθ θ + l cos φ φ & & y = lsinφ φ m 2 &2 & && l φ + 2a 2 m sin 2 θ θ 2 − 2alm sin θ cos φ θ φ 2 1 & T D = Iθ 2 2 a 1 I = ∫ ρ l 2 π rdr r 2 = 2πa 4 ρ l = M = πa 2 lρ = MR 2 4 0 V = −mgl cos φ Tp =

(

)

m 2 &2  I & && l φ +  + 2a 2 m sin 2 θ θ 2 − 2alm sin θ cos φ θ φ + mgl cos φ 2 2  & φ  1 & & L = φ ,θ ⋅ A ⋅  θ  & 2   L=

( )

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 ml 2 A=  − 2alm sin θ cos φ  & P  φ  P =  φ  = A ⋅  θ  & P     θ T=

− 2alm sin θ cos φ   2m sin 2 θ  I + 4a 

1 T (−1) P ⋅A ⋅P 2 (−1)  I + 4a 2m sin 2 θ 2al sin θ cos φ  1 ⋅ A = 2  2alm sin θ cos φ  ∆ ml   ∆ ≡ ml 2 ( I + 4a 2m sin 2 θ ) − 4a 2l 2m2 sin 2 θ cos2 φ

H=

1  ( I + 4a 2m sin 2 θ ) P 2 + ml 2 P 2 + 4alm sinθ cos φ P P  − mgl cos φ φ θ θ φ 2∆   

No hay ninguna que sea obviamente cíclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explícitamente del tiempo. Las ecuaciones de Hamilton son: ∂H & P =− φ ∂φ ∂H & P =− θ ∂θ & ∂H ; φ= ∂P

φ & ∂H ; θ= ∂P θ

------------------------------------------2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma
L= m & [(qsinωt + ωq cos ωt ) 2 + (ωqsinωt ) 2 ] 2

¿Cuál es la Hamiltoniana correspondiente?¿Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada hallar la Lagrangiana en función de Q y su derivada, y también la correspondiente Hamiltoniana H .¿Se conserva H ?
Q = qsinωt ,

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m & ( qsinω t + ω q cos ω t ) 2 + (ω qtsinω t ) 2 2 ∂L & p= = msinω t ( qsinω t + ω q cos ω t ) & ∂q & H = pq − L L= H= m 2 2 m& q sin ω t − ω 2 q 2 2 2

[

]

donde
& q=( p msinωt − ω q cos ω t ) 1 sinω t

Entonces la Hamiltoniana es:
H= m p m ( − ωq cos ωt ) 2 − ω 2 q 2 2 msinω t 2

No se conserva al depender del tiempo.
Q = qsin ω t & & Q = q sin ω t + q ω cos ω t m &2 & L1 = ( Q + ω 2 Q 2 ) P1 = m Q 2 1 1 H1 = P12 − m ω 2 Q 2 2m 2

Sí, se conserva. ----------------------------------------3. Considéreseun cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetría, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es I . Sobre la superficie lateral del cilindro está fija rígidamente una espira uniforme ó pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa m . El ángulo formado por la hélice respecto de la vertical es tal quedesciende una altura 2πα por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supóngase que la partícula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partícula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprétense todas lasvariables cíclicas del sistema.

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x = r cos(φ + θ ) ; z = −αφ
α siendo la constante de la espiral: L = 2πα

y = r sin(φ + θ )

T particula =

1 & & & m ( R 2 (φ + θ ) 2 + α 2φ 2 2 Tcilindro = 1 &2 Iθ 2

[

]

V = −mgαφ L= 1 θ& 2 & & && & m α 2φ 2 + R 2 (φ 2 + 2φθ + θ 2 ) + I + mgaφ 2 2

[

]

T=

& & mR 2  φ   1  & &  φ  1 & &  m(α 2 + R 2 )   =  (φ , θ ) A (φ , θ )  θ&  & 2 mR 2 mR 2 + I θ   2         & φ   p1    = A ⋅ 1  p  φ  &  2  2 T=
2  1 ( p1 , p 2 ) mR +2I  − mR 2∆ 

− mR 2  p1    m(α 2 + R 2 )  p 2   

siendo ∆ = m(α 2 + R 2 )( I + mR 2 ) − m 2 R 4 pero θ es cíclica de modo que p2 es constante: p2 = β = const. Lo que equivale a la conservación del momento angular total. De hecho, como...