Un Número Biblico

I. Proyecto de exploración matemática para estudiantes
de secundaria: Un número bíblico
En la Biblia (traducción de Casiodoro de Reina según revisada por Cipriano de Valera)
en 21:11 del evangelio de San Juan, aparece la siguiente cita:
Subió Simón Pedro y sacó la red a tierra, llena de grandes peces, ciento
cincuenta y tres; y aún siendo tantos la red no se rompió.
Por aparecer en laBiblia, el número 153 ha cobrado cierta notoriedad habiendo sido
objeto de especial atención por parte de muchos de los exégetas de este antiguo escrito.
Muchas personas insisten en que todos los números que aparecen mencionados en la
Biblia poseen una naturaleza especial que sólo puede ser descubierta luego de profundas reflexiones. La primera referencia escrita sobre este número se atribuye a SanAgustín. De acuerdo a San Agustín, si sumamos todos los enteros del 1 al 17 obtenemos
la suma de 153 (por consiguiente, 153 es un número triangular). Por otra parte, el
número 17 es muy especial de acuerdo al famoso santo, ya que es la suma del número
de mandamientos (10) de la vieja ley mosaica y el número de los dones del espíritu (7),
símbolo de la nueva dispensación. Así pues 17representa (así reza el argumento de San
Agustín) la unión de lo viejo y lo nuevo. Por otra parte, señala Martin Gardner que el
153 satisface la siguiente curiosa relación:
1! + 2! + 3! + 4! + 5! =153.
(En la relación anterior hemos utilizado la notación factorial: para un entero positivo n,
n! representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n.)
Un poco de imaginación permite descubriralgunas otras propiedades curiosas del
153. Por ejemplo, si sumamos los cubos de los dígitos de este número obtenemos 13 +
53 + 33 =1 + 125 + 27 =153. Dicho sea de paso, este no es el único entero con esta
propiedad. Por ejemplo, los números 370 y 371 también tienen la propiedad de que
cada uno de ellos vale la suma de los cubos de sus dígitos. Un ejemplo mucho menos

dramático de otro talentero positivo (pero ejemplo al fin) lo es el 1. Preguntamos al
lector: ¿Habrá otros números con esta propiedad?
Quizás la propiedad más curiosa e impresionante del 153 parecería ser una que
descubrió Phil Kohn de Yoqne’am, Israel. Fue él quien anunció al mundo que, de cierto
modo, el número 153 está implícito en uno de cada tres enteros consecutivos. Veamos
porqué.

Para enunciaradecuadamente el sorprendente descubrimiento de Kohn,

primeramente fijamos cierta notación.

Si n es un entero positivo, denotamos por

sum 3 (n) el resultado obtenido al sumar los cubos de los dígitos de n (cuando n se

representa en la base 10). Así pues sum3 (153) = 153 y sum3 (18) = 513 . De la misma
(
manera, si k es un entero positivo, sum3k ) (n) representa el resultado obtenido alaplicar

(
sum3 k veces corridas comenzando con el entero n. Así pues sum33) (6) = 153 :
(2)

(3)

6 " sum 3 (6) = 216 " sum 3 (6) = sum 3 (216) = 225 " sum 3 (6) = sum 3 (225) = 141.
¿Qué ocurre si continuamos repitiendo el proceso iterativo comenzando con el
número 6. Empleando una calculadora que nos indica los números acumulados en la
iteración luego de cada paso vemos la imagen que sepresenta en la Figura 15. ¿Qué
ocurre si comenzamos con otro número divisible por 3? Por ejemplo, con 3 y con 21;
véase la Figura 2.

La conjetura de Kohn fue la siguiente:
Si n es un entero divisible por 3 y aplicamos repetidamente el proceso descrito
comenzando con n, terminaremos eventualmente en el 153. Es decir, existe un
entero positivo k tal que sum3 (k) (n) = 153. Además, si n esdivisible por 3, entonces sum3 (n) también es divisible por 3.
Ahora nos preguntamos que ocurre si el número con el que comenzamos la iteración
no es divisible por 3. En la Figura 3 y en la Figura 4 se presentan varios ejemplos,
tomando como puntos de partida los números 2, 7, 4 y 16.

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Figura 1: Iteraciones comenzando con el número 6

Figura 2: Otras iteraciones de números...