Una aplicacion a la economia

Una aplicación a la economía: Funciones de oferta y demanda
La función de demanda, qd, para un producto es aquella que determina la cantidad total que
los consumidores están dispuestos a comprar a un precio p
La función de oferta, qs, es la que determina la cantidad total que los fabricantes están
dispuestos a producir a un precio de venta p.
Cantidad de equilibrio es el número deunidades que hay que producir para que la demanda y
la oferta se igualen: que se venda todo lo producido. Esto es, cuando qd = qs. El valor de p
correspondiente se llama precio de equilibrio.
Modelos de oferta y demanda. Modelo lineal
La demanda viene dada por la recta q b ap d −, con a y b > 0; (la
pendiente negativa indica que cuando el precio p aumenta las ventas
disminuyen).
Laoferta se expresa por q c dp s , con d > 0, para indicar que si el
precio aumenta la producción también lo hace. El término c suele ser
negativo.
En los dos casos la variable independiente es p, y su dominio está
definido para valores de p > 0 que hagan a qs y qd positivas y enteras (en
la práctica no pueden venderse trozos de un producto).

Modelo cuadrático. La demanda se ajusta a lafunción q ap bp c d −2 , con a 0 .
La oferta puede ajustarse por otra función cuadrática, ´ ´ ´ 2 q a p b p c s con a´ > 0.
La primera parábola tiene el vértice en el máximo; la segunda, en el mínimo.
Como en el modelo lineal, p, qs y qd deben ser positivos.
También pueden darse modelos mixtos: con la función de oferta lineal y la de demanda
cuadrática; o viceversa.
Funcionesexponenciales
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 yb≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por elconjunto de los números positivos.
1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa elcomportamiento de la función a medida que:
• x crece ilimitadamente
• x decrece ilimitadamente.


2. La función exponencial de base 1/2
Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a + y cuando x tiene a 
y=f(x)=(1/2)x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8


3. Lafunción exponencial para cualquier valor de b
Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1,entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.


Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:


2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.


Ejemplo para discusión: Usa las...