Una cisterna subterránea ha de contruirse con objeto de albelgar 100 pies cúbicos de desechos radioactivos
Páginas: 2 (409 palabras)
Publicado: 3 de enero de 2016
Una cisterna subterránea ha de construirse con objeto de albergar 100 pies cúbicos de desechos radioactivos. La cisterna tendrá forma cilíndrica. La base circular y la cara lateral, todos bajotierra, tienen un costo de $ 100 por pie cuadrado y la tapa, al nivel del suelo tiene un costo de $ 300 por pie cuadrado debido a la necesidad de protección. Más aun, la profundidad del tanque no puedeexceder los 6 pies porque una capa de dura roca está por debajo de la superficie, lo que incrementaría el costo de la excavación enormemente si se penetrara. Por último, el radio del tanque no puedeexceder 4 pies por limitaciones de espacio. ¿Qué dimensiones del tanque hacen del costo un mínimo?
Solución
Sea el radio de pies y la profundidad de x pies. Se sigue que el volumen es que debe serigual a los 100 pies cúbicos requeridos.
El área de la cara vertical es 2 y la correspondiente a la base es , y todas estas tienen un costo de $ 100 por pie cuadrado. De modo que
Costo (endolores) de la base y la cara lateral = (2(100).
La tapa cuesta () (300) dólares. Por consiguiente, el costo total C (en dólares) es
Pero por la ecuación (1), de modo que sustituyen x encontrando queCon objeto de encontrar el valor mínimo de C hacemos dC /dr = 0 y despejamos r.
Por tanto,
El valor correspondiente de x es
Por tanto, las dimensiones que corresponden a laconstrucción más barata son un radio de 2 pies y una profundidad de 7.96 pies. Sim embargo, no teníamos permitido un valor de x que excediera a 6 pies. De modo que si bien el valor x= 7.96 da el costo mínimo deC, no ofrece la solución al problema tal como se planteó.
La grafica de C como una función de r aparece en la figura 33. Ahora el máximo valor permitido de r es 4. El valor más pequeño permitidoocurre cuando la profundidad es máxima, es decir, x = 6. Se sigue que = (100/ ), de modo que r = En consecuencia, r está restringido al rango 2.30 ≤ r ≤ 4. El mínimo local de C ocurre cuando x...
Solución
Sea el radio de pies y la profundidad de x pies. Se sigue que el volumen es que debe serigual a los 100 pies cúbicos requeridos.
El área de la cara vertical es 2 y la correspondiente a la base es , y todas estas tienen un costo de $ 100 por pie cuadrado. De modo que
Costo (endolores) de la base y la cara lateral = (2(100).
La tapa cuesta () (300) dólares. Por consiguiente, el costo total C (en dólares) es
Pero por la ecuación (1), de modo que sustituyen x encontrando queCon objeto de encontrar el valor mínimo de C hacemos dC /dr = 0 y despejamos r.
Por tanto,
El valor correspondiente de x es
Por tanto, las dimensiones que corresponden a laconstrucción más barata son un radio de 2 pies y una profundidad de 7.96 pies. Sim embargo, no teníamos permitido un valor de x que excediera a 6 pies. De modo que si bien el valor x= 7.96 da el costo mínimo deC, no ofrece la solución al problema tal como se planteó.
La grafica de C como una función de r aparece en la figura 33. Ahora el máximo valor permitido de r es 4. El valor más pequeño permitidoocurre cuando la profundidad es máxima, es decir, x = 6. Se sigue que = (100/ ), de modo que r = En consecuencia, r está restringido al rango 2.30 ≤ r ≤ 4. El mínimo local de C ocurre cuando x...
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