Una compa a fabrica y venden dos modelos de l mpara A1


A) Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara A1 y A2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 10 minutos para el modelo A1 y de 15 minutos para el A2; y un trabajo demáquina para A1 de 10 minutos y de 5 minutos para A2. Se dispone para el trabajo manual de 200 horas al mes y para la máquina 160 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 300 y 200 pesos paraA1 y A2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.






 2  Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
 3  Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min= 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1
L2
Tiempo
Manual
1/3
1/2
100
Máquina
1/3
1/6
80
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número delámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0,trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano,por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100
1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto delas soluciones factibles.

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son lassoluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

 6  Calcular el valor de la función objetivo
En la funciónobjetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo
La...