Una historia sobre gauss: desde 1 hasta n

Te voy a contar algo que sucedió hace unos 200 años. Estaba un profesor con sus alumnos, niños más o menos de tu edad y pensó:
“Como tengo que salir voy a encargar a los muchachos que sumen losnúmeros del 1 al 100, para que no se queden desocupados mientras regreso”.
Les dijo lo que debían hacer y apenas había cerrado su cuaderno cuando Carlos Federico levantó la mano como para preguntarlealgo.:
- Dime, Carlos Federico –contestó él mientras pensaba “Yo que ya me voy y este niño que quiere hacer una pregunta antes de ponerse a trabajar”
El muchacho se levantó de su pupitre, fue donde elprofesor y le enseñó una cantidad que había escrito: 5050.
- Dime, Carlos Federico: ¿qué significa este número?
- Es la suma de todos los números del 1 al 100.
Dejemos la historia aquí parapreguntarnos ¿Será eso cierto? Vamos a comprobarlo. Lo primero que se nos ocurre sería sumar los dos primeros, luego el tercero, el cuarto, el quinto, y seguir así.
1+2=3
3+3=6
6+4=10
10+5=15
15+6=2121+7=28
Es lo primero pero no es lo más inteligente, porque nos tardaríamos mucho. Pensemos otra cosa; como ya sumamos antes
1+2+3+4+5 = 15
Y podemos pensar en los números del 6 al 10 como el 5 másotro número y tenemos
6+7+8+9+10 = (5+1) + (5+2) + (5+3) + (5+4) + (5+5)
Entonces sabemos que si sumamos del 6 al 10 en total tendremos 5 cincos y la suma del 1 al cinco, o sea 25 más 15, o sea 40.Este camino parece mejor que el primero, pero debe haber otro mejor. Veamos: si queremos saber cuánto es la suma
3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
como todos los sumandos son iguales a tres, basta concontarlos y multiplicar ese número por tres. Esa suma es
3 x 13 = 39
Una muy buena idea para sumar del 1 al 100 sería hacer pequeñas sumas para formar “paquetes” del mismo tamaño. ¿De qué tamaño?Digamos, para probar, 45 y comencemos a lograr sumas de 45,
20 + 21+4 = 45
18 +17+10 = 45
6+11+28 = 45
Ya tenemos 9 números agrupados en tres paquetes de 45.
Pero hay un problema. ¿Dónde poner el...