Una Travesia Matematica

UNA TRAVESÍA MATEMÁTICA




















“Las matemáticas son, creo yo, la principal fuente de nuestra creencia en verdades eternas y exactas. Esto deja pensar que todo razonamiento exacto se aplica a objetos ideales en contraposición a los objetos sensibles..., que el pensamiento es más noble que los sentidos, y que el objeto del pensamiento es más real que elobjeto de la percepción sensible”.[1]

Durante el transcurso del año, en la cátedra “Fundamentos de la Matemática”, hemos tratado de conocer los cimientos sobre los que se basa la ciencia que hemos decidido enseñar y la estrecha relación que esta tiene con la filosofía. Para ello hemos utilizado como base cuatro preguntas fundamentales que nos ayudaron a conocer las líneas de pensamiento queacompañaron la evolución de la matemática a lo largo de la historia.

¿De qué hablan las matemáticas? ¿Por qué creer en las proposiciones matemáticas? ¿Cómo se investiga en matemática? ¿Cuál es la relación entre la matemática y la realidad? Si bien son preguntas que se encuentran muy ligadas las unas a las otras, tratan de abordar diferentes miradas, según quien sea el matemático que la estudie o loque se entienda por matemática.

Los primeros filósofos de la matemática fueron Pitágoras y Platón, si bien éste último no era matemático, muchos matemáticos importantes de la historia han llegado a grandes descubrimientos gracias a su pensamiento, el segundo mundo platónico, Pitágoras, por el contrario, era matemático, pero ésta misma ciencia lo llevo a replantearse el porque de las cosas, fueel primero en hablar de un segundo mundo, el de las entidades matemáticas, ya que encontraba en los números respuesta a muchas de sus inquietudes, decía Pitágoras: “todo es un número”.

Aristóteles fue otro importante filósofo de la historia, gracias al método demostrativo de él se ha llegado a estructurar la matemática desde un punto de vista más fiable, desde la lógica, origen de laaxiomática moderna.

Con el afán de dar mayor consistencia y coherencia al conjunto de los conocimientos matemáticos, se ha creado un nuevo enfoque, el cual imagina a la matemática como un Sistema Axiomático, pues tiene su vocabulario, las categorías de ese vocabulario, y tiene sus puntos de partida, los axiomas y los que se deducen a partir de ellos, los teoremas. Esta nueva línea depensamiento, ha llevado a grandes controversias. En nuestro análisis partimos de la siguiente suposición, el último gran eslabón de la matemática fue el surgimiento de las geometrías no euclideanas, que se definieron a partir de las geometrías euclideanas, las cuales responden a las leyes de la aritmética. Entonces: ¿Las geometrías no euclideanas constituyen un sistema axiomático formal?, la respuesta aesta pregunta nos podría llevar a solucionar el problema de la consistencia de la matemática misma, pues si el último piso de nuestro edificio está bien firme es por que sus cimientos son fiables.

El análisis comenzó reduciendo el problema de la consistencia de la geometría no euclideana al de la consistencia de la geometría euclideana y esta a su vez se redujo a la consistencia de los númerosreales, a través de la aritmetización de la matemática, que a su vez se puedo reducir a la de los números racionales, está a lo de los enteros, lo que nos lleva a reducir el problema, a determinar si la aritmética de los números naturales es consistente, ¿pero existe un sistema axiomático formal para los números naturales?.

Giuseppe Peano propuso introducir a los números naturales pormedio de un sistema axiomático formal, conocido hoy como “axiomática de Peano”, para ello utilizo notaciones que se emplean en la lógica contemporánea, esta reducción de la matemática a la lógica es importante porque dota a la matemática de un leguaje unificador, el de la teoría de conjuntos. Pero en el seno de la teoría de conjuntos aparecieron las antinomias lógicas, las cuales mostrarían...