Una Vista Desde El Espacio




a) Desde una nave espacial en órbita alrededor de la Tierra a una distancia h de la superficie terrestre, un astronauta puede observar sólo una paorción As del área total del área superficial dela Tierra Ae .
Encuentre una fórmula para la expresión fraccionaria As/Ae como una función de h. En la figura se muestra la Tierra en sección tranversal como un circulo con centro C y radio R. Seanlos ejes x y y como se muestra, y sea yB y yE las coordenadas de los puntos B y E, respectivamente.

Conociendo que el área superficial de revolución con respecto al eje y esta dada por la integraldefinida:

Se puede sustituir los valores de a= yB , b=yE , así como el de la función y su derivada, siendo estas:



Haciendo las sustitucionescorrespondientes se resuelve la integral definida








Haciendo la deducción de que yE=, para encontrar el valor de yB se hace la relación de ésta con la altura del astronauta mediante una rectatangente que pasa por el punto T (xB,yB) de la circunferencia y el punto de la altura h(0,(R+h)). teniendo la fórmula de la recta que pasa por un punto: , hacemos las sustituciones correspondientesconociendo que m=f´(x).






Para obtener el valor de la coordenada en x, la ecuación de la recta tangente es igualada a la de la circunferencia, despejando así el valor de x , para que sea evaluadoen la función original y de esta manera obtener el valor de yB en función de h como se muestra a continuación.









Obtenido el valor de yB, es sustituido en la integral de As y simplificandoobtenemos la fórmula:

Ya en el problema se nos pide la razón de As/Ae , sabiendo que Ae=4 se obtiene la siguiente razón:


b) ¿Qué porcentaje de la superficie de la Tierra ve un astronauta de desdeuna altura de 2000 km? Considere que el radio de la Tierra es R=6380 km.






c) ¿A qué altura h el astronauta ve un cuarto de la superficie dela Tierra?





d) ¿Cuál es el límite de As/Ae cuando...