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Páginas: 3 (555 palabras)
Publicado: 6 de octubre de 2014
´
Universidad Andres Bello
Facultad de Ingenier´
ıa
´
Departamento de Matematicas
´
CALCULO II (FMM133)
SOLEMNE 2
Octubre 24, 2008.
Duraci´n: 90 minutos.
o
Importante: No se asignar´npuntos por respuestas sin justificaci´n.
a
o
Problema 1 : (1.5 ptos) Para x ∈ R considere la funci´n
o
x2
sen(t2 )dt
F (x) =
0
Determine la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de F(x) en x = 0.
o
a
x
Soluci´n: F (x) = f (g(x)), donde f (x) =
o
Usando la regla de la cadena tenemos
sen(t2 )dt y g(x) = x2 .
0
F (x) = f (g(x))g (x)
Usando el teorema fundamentaldel c´lculo, tenemos
a
f (x) = sen(x2 )
Entonces
F (x) = sen((x2 )2 ) · 2x = 2x sen x4
La recta tangente en x = 0 tiene entonces pendiente F (0) = 0 y pasa por el punto
(0, 0). Por lo tanto suecuaci´n es
o
y=0
Problema 2 : (1.5 ptos) Considere la partici´n del intervalo [0, 1],
o
P=
0,
k2
1 4 9
, 2, 2,..., 2,...,1
n2 n n
n
Determine la suma superior de Riemann de la funci´nf (x) =
o
con la partici´n dada.
o
Sugerencia: Puede usar
n
n(n+1)(2n+1)
2
y n k = n(n+1) .
k=1
k=1 k =
6
2
Soluci´n:
o
k2
xk = n 2
2
xk−1 = (k−1)
n2
δk = xk − xk−1 =
2k−1
n2√
x en el intervalo [0, 1]
√
Usamos que la funci´n f (x) = x es creciente, y por lo tanto en cada intervalo generado
o
por la partici´n, el m´ximo se produce en el extremos derecho. Luegoo
a
n
S =
=
=
f (xk )δk
l´
ım
n→∞
k=1
n
l´
ım
n→∞
=
=
k2
n2
l´
ım
n→∞
k=1
1
n→∞ n3
k(2k − 1)
k=1
n
(2k 2 − k)
l´
ım
k=1
n(n + 1)(2n+ 1) n(n + 1)
−
6
2
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
2
−
6n3
2n3
1
n→∞ n3
n→∞
2k − 1
n2
n
l´
ım
l´
ım
2k − 1
n2
xk
k=1
n
1
= l´
ım 3
n→∞ n
=
√
usando quela funci´n es creciente en el intervalo
o
2
4
−0
6
2
=
3
=
Problema 3 : Considere la curvas de ecuaci´n f (x) = x2 − 4x + 3, g(x) = −x2 + 2x + 3.
o
a) (0.8 ptos) Calcular el ´rea...
Universidad Andres Bello
Facultad de Ingenier´
ıa
´
Departamento de Matematicas
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CALCULO II (FMM133)
SOLEMNE 2
Octubre 24, 2008.
Duraci´n: 90 minutos.
o
Importante: No se asignar´npuntos por respuestas sin justificaci´n.
a
o
Problema 1 : (1.5 ptos) Para x ∈ R considere la funci´n
o
x2
sen(t2 )dt
F (x) =
0
Determine la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de F(x) en x = 0.
o
a
x
Soluci´n: F (x) = f (g(x)), donde f (x) =
o
Usando la regla de la cadena tenemos
sen(t2 )dt y g(x) = x2 .
0
F (x) = f (g(x))g (x)
Usando el teorema fundamentaldel c´lculo, tenemos
a
f (x) = sen(x2 )
Entonces
F (x) = sen((x2 )2 ) · 2x = 2x sen x4
La recta tangente en x = 0 tiene entonces pendiente F (0) = 0 y pasa por el punto
(0, 0). Por lo tanto suecuaci´n es
o
y=0
Problema 2 : (1.5 ptos) Considere la partici´n del intervalo [0, 1],
o
P=
0,
k2
1 4 9
, 2, 2,..., 2,...,1
n2 n n
n
Determine la suma superior de Riemann de la funci´nf (x) =
o
con la partici´n dada.
o
Sugerencia: Puede usar
n
n(n+1)(2n+1)
2
y n k = n(n+1) .
k=1
k=1 k =
6
2
Soluci´n:
o
k2
xk = n 2
2
xk−1 = (k−1)
n2
δk = xk − xk−1 =
2k−1
n2√
x en el intervalo [0, 1]
√
Usamos que la funci´n f (x) = x es creciente, y por lo tanto en cada intervalo generado
o
por la partici´n, el m´ximo se produce en el extremos derecho. Luegoo
a
n
S =
=
=
f (xk )δk
l´
ım
n→∞
k=1
n
l´
ım
n→∞
=
=
k2
n2
l´
ım
n→∞
k=1
1
n→∞ n3
k(2k − 1)
k=1
n
(2k 2 − k)
l´
ım
k=1
n(n + 1)(2n+ 1) n(n + 1)
−
6
2
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
2
−
6n3
2n3
1
n→∞ n3
n→∞
2k − 1
n2
n
l´
ım
l´
ım
2k − 1
n2
xk
k=1
n
1
= l´
ım 3
n→∞ n
=
√
usando quela funci´n es creciente en el intervalo
o
2
4
−0
6
2
=
3
=
Problema 3 : Considere la curvas de ecuaci´n f (x) = x2 − 4x + 3, g(x) = −x2 + 2x + 3.
o
a) (0.8 ptos) Calcular el ´rea...
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