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Lección 1 - Problemas

Problemas

CAPÍTULO 2 FUNCIONES VECTORIALES
Lección 2.2.

Curvas en R n

Una aplicación F : I→ R n , donde I es un subconjunto de R se llama una función vectorial. Puesto
n
que para cada t ∈ I, F( t ) ∈ R , entonces

F( t ) = ( f 1 ( t ), f 2 ( t ), ..., f n ( t ) )

Lasfunciones f i : I→ R, i = 1, 2, ...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todas
las propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes.
Ejemplos:
n

1. F( t ) = P + tA, t ∈ R, P y A vectores fijos de R es una función vectorial que representa una
recta en R n .
2. F( t ) = ( cos t, sent ), t ∈ R es una función vectorial que representa unacircunferencia de
2
centro cero y radio uno en R .
3. F( t ) = ( t, t 2 ), t ∈ R es una función vectorial que representa una parábola
La imagen F( I ) es un subconjunto de R n y determina una curva en él. Es claro que que una curva
n
en R puede estár determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo:

(

)

(

)

α ( t ) = t, t 2 , t ≥ 0 y β ( t ) = t 2 , t 4 , definen lamisma curva en en R 2 . No obstante,
aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la función que la
define.
Operaciónes algebraicas:
Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales:
1. ( F + G )( t ) = F( t ) + G( t ), t ∈ I, F y G funciones vectoriales.

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2. ( u.F )( t ) = u( t ).F( t ), t ∈ I, F una función vectorial y u : I→ R.
3.

F, G ( t ) =

F( t ), G( t ) , t ∈ I.

4. ( F × G )( t ) = F( t ) × G( t ), t ∈ I, F y G funciones vectoriales con valores en R 3 .
5. (F ° u )( t ) = F( u( t ) ), t ∈ I, F una función vectorial y u : I→ R.
Continuidad de funciones vectoriales
n

Definición(2.2.1): Sea F : I→ R una funciónvectorial. Decimos que F es continua en a ∈ I,
si para toda secuencia t n
⊂ I, tal que t n → a, se cumple que F( t n )→ F( a ).

{ }

De la Definición (2.2.1) se deduce, inmediatamente, que F es continua en a si y sólo si las funciones
componentes de F son continuas en a. Además:

lim F( t k ) = ( lim f 1 ( t k ), ..., lim f n ( t k ) ).

t k→ a

t k→ a

t k→ a

(2.2.1)Derivabilidad de funciones vectoriales
La derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones
de variable y valor real. Así:

′

F ( a ) = lim
t→a

′

F ( t + a ) − F( a )
t

(2.2.2)

Cómo se indica en la figura, el vector F ( a ) es el vector dirección de la recta tangente a la curva
definida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos queF( t ) determina el desplazamiento de
una particula en el espacio R n a medida que el tiempo t transcurre, entonces F ′( a ) mide la velocidad
del desplazamiento.

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Figura No. 1
Es muy fácil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) que

′

′

′

F ( a ) = ( f 1 ( a ), ..., f n ( a ) )

( 2.2.3 )La derivación de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades:
′

′

′

1. ( F + G ) = F + G .
′

′

2. ( u.F ) = u ′.F + u.F , con u : R→ R.
3.

F, G

′
′

=

′

F,G
′

+

F, G

′

.

′

4. ( F × G ) = F × G + F × G .
5. ( F ° u ) ′ = u ′.F ′( u ), con u : R→ R.
Como consecuencia de la propiedad 3. anterior tenemos el siguiente
Teorema(2.2.1): Sea F una función vectorial definida en algún intervalo I. Si F( t )
para todo t, entonces

′

F( t ), F ( t )

= c,

= 0.

El Teorema nos dice que el vector posición de la curva y su vecror tangente son perpendiculares para

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todo valor t.
Si pensamos que es una partícula que se...