Uni II T3 2011 fin

UNIDAD 2: Construcción de la función potencial (Trabajo y el Teorema Fundamental para las Integrales de línea)
Tema 3: La función potencial y el Teorema Fundamental de las Integrales de línea
En el Tema 2 de esta Unidad dimos una prueba de que para los campos de fuerza constantes, es decir campos de la forma , el trabajo desarrollado de un punto a otro del plano no depende de la trayectoria quese siga para unirlos; esta importante propiedad de los campos constantes se extiende a una clase más amplia de campos, lo cual quedará de manifiesto en las consideraciones que hagamos con relación a la siguiente situación problema.

SITUACIÓN-PROBLEMA 10
1. Considera que es un campo de fuerzas y calcula el trabajo para ir del punto A(0,0) al punto B(1,1) siguiendo estas cuatro trayectorias:a) Por el eje hasta el punto C (1,0) y luego por la vertical hasta llegar a B.
b) Por el eje hasta el punto D (0,1) y luego por la horizontal hasta llegar a B.
c) Directamente de A a B por la recta y = x .
d) Directamente de A a B por la curva y =.





Trayectoria de a) Trayectoria de b) Trayectoria de c) Trayectoria de d)
2.Considera que es un campo de fuerzas y calcula el trabajo para las mismas trayectorias del punto 1.
3. ¿Observas alguna diferencia entre los resultados del punto 1 y del punto 2?


Discusión SP-10
Una observación muy importante es que para calcular el trabajo con las condiciones dadas en esta situación problema, no podemos usar la fórmula que utilizamos en las situaciones anteriores. En efecto, lafórmula se utiliza sólo cuando la fuerza es constante y la trayectoria es rectilínea; habrás notado que en este caso las fuerzas depende de los valores que tomen y; además, tenemos que la trayectoria del inciso d) no es recta. En seguida construiremos una fórmula para el trabajo que contempla una fuerza no necesariamente constante y una trayectoria no necesariamente recta.
Construcción de laFórmula General para calcular el trabajo a lo largo de una curva.
Consideremos una fuerza (no necesariamente constante) y un desplazamiento que empieza en el punto A y termina en B a lo largo de la curva C (no necesariamente una recta). Aunque la fórmula no puede utilizarse para calcular el trabajo para ir desde A hasta B, podemos emplearla para calcular el trabajo en un tramo infinitesimal de lacurva, es decir podemos auxiliarnos de ella para conseguir un diferencial de trabajo. En otras palabras, utilizaremos la estrategia de la toma del elemento diferencial, para conseguir un diferencial de trabajo; sumando todos los diferenciales (o integrando) podemos conseguir el trabajo total.
La idea es considerar un tramo infinitamente pequeño de la curva que nos permite, por un lado, verla ahí comoun tramo recto y por tanto conseguir en lo infinitamente pequeño un desplazamiento rectilíneo; y por otro lado, la fuerza, aunque variable, pueda considerarse constante ahí. Teniendo la fuerza constante y el desplazamiento rectilíneo (en el tramo infinitesimal de la curva) podemos calcular el trabajo usando la fórmula anterior, aunque sólo para conseguir un diferencial de trabajo , donde es elvector desplazamiento (infinitesimal), cuya longitud es la longitud del tramo infinitesimal de curva y va en dirección de la curva.

Por tanto, integrando o sumando, el trabajo de a lo largo de la curva C esta dado por la fórmula:


Ahora bien, observando que


Y considerando en términos de sus componentes, lafórmula del trabajo adopta la siguiente forma:
(1)
Veamos cómo utilizar esta fórmula calcular el trabajo en la SP-10.
Problema 1
Para todos los incisos de este problema la fuerza es la misma:, entonces la forma diferencial que aparece dentro de la integral de...