Unicidad del equlibrio

Documentos de Trabajo

Unicidad del equilibrio de Nash-Cournot con
correspondencias de
mejor respuesta contractivas

Elvio Accinelli, Edgard Carrera

Documento No. 15/06
Noviembre, 2006

Unicidad del equilibrio de Nash-Cournot con correspondencias de
mejor respuesta contractivas∗
Elvio Accinelli†
,

Edgard Carrera‡

Resumen
En este trabajo se muestran condiciones para launicidad del equilibrio de Nash-Cournot para un juego con
n firmas. Estas condiciones garantizan que las funciones de mejor respuesta para n-firmas que compiten en
forma oligop´lica a la Cournot sean contracciones y generalizan las condiciones de concavidad generalmente
o
consideradas para este fin.

Abstract
In this work we obtain new conditions to uniqueness of Nash equilibrium in the Cournotoligopoly model.
These conditions assure that the reaction functions are contractions and they are not reduced to the
obtained ones by Rosen, inasmuch as they do not demand the strict concavity of the benefit functions
Keywords: mejor respuesta, contraccion, equilibrio de Cournot, unicidad.
JEL Classification: C72.

∗ Los autores realizaron su trabajo con apoyo parcial del CONACYT, proyecto No.46209 Modelado Matem´tico del Cambio
a
en Econom´
ıa
† Universidad Aut´noma Metropolitana (A) Departamento de Econom´
o
ıa. E-mail adress: elvio@correo.xoc.uam.mx.
‡ Dipartimento di Economia, Facolt` di Economia, Richard M. Goodwin, Universit` di Siena.
a
a
E-mail adress: carrera.edgar@gmail.com

1

1

Introduci´n
o

La teor´ de juegos trata situaciones de conflicto ynegociaci´n. Una situaci´n de conflicto supone una
ıa
o
o
interacci´n entre dos o m´s individuos (jugadores) que act´an rec´
o
a
u
ıprocamente y donde las acciones elegidas
por cada uno para resolver la situaci´n determinan un resultado final al conflicto sin que cada uno pueda
o
asegurar por s´ mismo el resultado final. Cada uno participando como jugador puede controlar la situaci´n
ı
oparcialmente, pero ning´n jugador tiene mando completo. Cada jugador tiene preferencias sobre los posibles
u
resultados del juego y escoge una estrategia con el objetivo de obtener el resultado m´s beneficioso posible
a
para ´l, tomando en cuenta las elecciones estrat´gicas de los dem´s jugadores. Tales preferencias pueden
e
e
a
describirse como una funci´n de utilidad esperada (a la vonNeumann-Morgenstern), en la cual cada jugador
o
se caracteriza por una funci´n num´rica cuyo valor esperado es el que intenta incrementar al m´ximo.
o
e
a
Un equilibrio de Nash [9], es una combinaci´n estrat´gica con la propiedad de que ning´n jugador puede
o
e
u
ganar o mejorar desvi´ndose unilateralmente de tal combinaci´n. El equilibrio de Nash puede caracterizarse
a
o
por ser, para cadajugador, una mejor respuesta dada las estrategias elegidas por los dem´s. Un juego puede
a
poseer m´s de un equilibrio de Nash, en este caso el estudio de las caracter´
a
ısticas de estos equilibrios es
central para poder entender las soluciones posibles, ver por ejemplo [12]. Dado la complejidad de esta
discusi´n, obtener condiciones amplias que garantizan la unicidad local del equilibrio de Nashno es de
o
menor importancia.
En condiciones muy generales la existencia del equilibrio de Nash est´ garantizada. Nuestro objetivo es
a
obtener condiciones amplias que impliquen la unicidad del equilibrio de Nash. En la literatura es conocido
que si las reacciones son funciones contractivas, la unicidad del equilibrio se sigue (el uso de la propiedad
de contracci´n para asegurar launicidad del equilibrio de Nash, tiene como referencia incial [4]), y una
o
aproximacion diversa se da con la condicion de concavidad de las funciones de reacci´n, en por ejemplo
o
[10]. El estudio de unicidad del equilibrio en mercados oligop´licos, est´ ampliamente tratada por [13]
o
a
considerando el teorema de punto fijo para contracciones. En nuestro trabajo presentaremos condiciones,...