unidad 1 calculo vectorial

UNIDAD 1
ALEGEBRA DE VECTORES

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica
Un objeto en las matemáticas que posea magnitud así como dirección es la definición perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectorescon diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un punto en el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2, x3).
Existen dos propiedades importantes de los vectores R2:
1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 +q2).
2). Producto Escalar: Considere B ? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma
B (p1, p2) = (B p1, B p2).
Vamos a considerar la interpretación geométrica de la Sumatoria de los vectores R2:

De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignación de la representación de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) =(p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como: “Suma del Paralelogramo”.
Es decir, la temperatura T puede ser considerada como una función de x, y, z, es decir, T(x, y, z).
Aquí T es el campo escalar. El valor del campo escalar es invariante independientemente de la rotación del sistema de coordenadas.
Ahora, considere nuevamente la sala donde el aire fluye rápidamente en alguna parte y semueve lentamente en otra parte.
Este movimiento de aire se denomina velocidad.
Por consiguiente, esta velocidad es también una función que puede ser escrita como v(x, y, z).
Esta velocidad es diferente de la de la temperatura por el hecho de que la dirección está asociada con la velocidad y no con la temperatura.
Entonces, la descripción del aire está dividida en dos partes: la rapidez y sudirección, por este motivo es considerado un campo vectorial.
Las aplicaciones del campo vectorial incluyen la Transformada de Fourier, la Optimización, la teoría de juegos, el teorema mini max, junto con algunas teorías importantes, como la teoría de grupos y la teoría de la representación.
Inclusive, si son consideradas todas las aplicaciones de los campos vectoriales la lista puede extenderseampliamente en longitud.
Existen ciertas operaciones que pueden ser aplicadas en los campos vectoriales.
1) Integral de Línea: Se determina una integral de línea cuando el campo vectorial es integrado a lo largo de la curva.
Por ejemplo, considere una partícula en movimiento en el cual la fuerza que actúa a lo largo del campo gravitatorio es representada por un vector.
Entonces la integral de líneadel vector indica el trabajo realizado por la partícula para moverse a lo largo de la curva.
Si V es el campo vectorial y Y representa la curva, la cual está para me trizada en [0, 1], entonces la integral de línea es representada como:
Estos vectores R2 también pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre sí. Estos componentes son generados con respecto alsistema de coordenadas el cual pueden ser de múltiples dimensiones.

El vector componente está relacionado con el componente escalar b, de forma que:
 = Vx i^
 = Vy j^
Similar al vector R2, R3 también posee las propiedades:
1. Suma de vectores R3: Si p y q son dos vectores de la forma R3 entonces p + q = (p1, p2, p3) + (q1, q2, q3) = (p1 + q1, p2 + q2, q3 + p3).
2. Producto Escalar: Considere B? R y el vector P en R3, en este caso el producto escalar es de la forma
B (p1, p2, p3) = (Bp1, Bp2, Bp3).
Otra propiedad importante de los vectores R2 y R3 es conocida como superposición. Esta es la combinación de la suma vectorial y la multiplicación escalar. De acuerdo con esta, si existen dos vectores A y B y los escalares a y b, entonces la superposición puede ser representada...