unidad 1 calculo

Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita

Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funcionespresentadas.

1. Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que depende de .
a. .

Se procede a derivar:


Se utiliza la regla de la cadena


Siendo
Entonces,Y utilizamos la regla de la cadena de nuevo:


Siendo

Entonces,


Si se aplica la regla al producto, obtenemos:




Utilizando regla del producto para


Siendo
Así,


Ypor medio de la regla de la cadena, siendo:

Y,


Entonces,

La derivada
Así,


Procedemos a buscar:


En la ecuación implícita original:

Sustituyendo,


Se organiza,Realizando operaciones



En el lado izquierdo dejamos los términos con


Haciendo las operaciones:




b. .
Derivando cada término:


Se usa la regla de la cadena



Utilizando regladel producto para:


Después, realizando derivadas y operaciones:



Así, al utilizar la regla de la cadena para:


Para el siguiente ocupando regla de la cadena




Así, en la ecuaciónimplícita original


Sustituyendo los valores:


Se procede a realizar las operaciones:


Se resta


en ambos lados





Pasa consigno contrario y al lado contrario y quedaSe reúnen los términos del lado izquierdo para

Despejando queda finalmente




c. .

Derivando la ecuación implícita termino a término


Al utilizar la propiedad logarítmica:Entonces


Simplificando
Y Teniendo en cuenta que:

Entonces,

Aplicando regla de la cadena:

Por lo tanto,

Aplicando la regla de la cadena para


Aplicando regla de la cadenaEntonces


Considerando Por regla de la cadena

Entonces


Teniendo en cuenta que

Ahora consideremos a derivar

Aplicando la regla del producto a


Luego

Derivando la ecuación...