Unidad 1 Conceptos Básicos De álgebra

EL SISTEMA DE LOS NÚMERO REALES
Introducción
Nos hemos dado cuenta que el desarrollo de cualquier tema está referido a un
conjunto universal. En una gran mayoría de los temas que trataremos aquí tendremos
como universo un conjunto que será llamado el conjunto de los números reales. Es
por esta razón que debemos tener una idea descriptiva de dicho conjunto y conocer
algunas de sus propiedadesfundamentales.
Hay algunos subconjuntos de los reales que también tienen un interés particular,
en este caso los naturales, que podemos considerar como el conjunto primitivo en la
construcción de los números.
El conjunto de los números naturales (enteros positivos) surgen de la necesidad
de contar objetos en sucesión, sin embargo esta conjunto de números no permitía
efectuar algunas substracciones,para ello se agregó el cero y los números negativos,
todo este conjunto se le nombre números enteros.
La necesidad de efectuar divisiones con números enteros llevó al surgimiento de
los números racionales, y por otro lado la extracción de raíces llevo a los números
irracionales.
Ahora veremos cada uno de los conjuntos de números mencionados anteriormente
y qué operaciones podemos efectuar con ellosy qué propiedades poseen dichas
operaciones.
El conjunto de números naturales, denotado por N es:
N = {1, 2, 3 …}
Las operaciones que se pueden efectuar con cualesquier para de números de este
conjunto son: suma, denotada por (+) y multiplicación denotada por ( .)
Las propiedades que poseen estas operaciones son:
SUMA
Dados a, b, y c ∈ N

MULTIPLICACIÓN
Cerradura

a+b∈N

a.b∈N
Conmutativaa+b=b+a

a.b=b.a
Asociativa

a + (b + c) = (a + b) + c

a . (b . c) = (a . b) . c
Distributiva
a - (b + c) = a . b + a .c

El conjunto de números enteros, denotado por Z, es:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Algunos de los subconjuntos de los Números enteros (Z) más importantes
son:
Naturales = N = {1, 2, 3, 4, 5, ....}
Enteros negativos = M = {-1, -2, -3, -4, -5, ...}

No negativos = W = {0, 1, 2, 3,4, 5, ...}
Enteros pares = { x/x = 2k, k ∈ Z }
Enteros impares = { x/x = 2k + 1, k ∈ Z }
Las operaciones que podemos efectuar con cualesquier par de números de
este conjunto son: suma ( +), multiplicación ( .) y sustracción ( -).
La sustracción sólo posee la propiedad de cerradura y la distributiva; esto es,
dados a, b ∈ Z.
a–b∈Z
a (b – c) = ab – ac
Las operaciones de suma y multiplicación poseenlas propiedades siguientes:
SUMA
Dados a, b, y c ∈ Z

MULTIPLICACIÓN
Cerradura

a+b∈Z

a.b∈Z
Conmutativa

a+b=b+a

a.b=b.a
Asociativa

a + (b + c) = (a + b) + c

a . (b . c) = (a . b) . c
Neutro (o identidad)

Existe 0 ∈ Z ∋
a+0=0+a=a

a.1=1.a=a
Inverso

∀ a ∈ Z, ∃ (-a) ∈ Z ∋
a + (-a) = (-a) + (a) = 0

No posee
Distributiva
a . (b + c) = a . b + a . c

Ahora extenderemos el conjunto de losnúmeros enteros al conjunto de los
Número racionales que denotaremos por “Q” y que lo definiremos por:
Números racionales = Q = { x/x = a/b; donde a, b ∈ Z, b ≠ 0 }
Todo número racional a/b puede también ser representado mediante una
expresión decimal. Algunas representaciones decimales son finitas, es decir, a partir
de un lugar determinado aparecen siempre ceros.
Las operaciones que podemos efectuarcon cualesquier para de estos números
son: suma (+), multiplicación (.), sustracción (-) y división (÷).
Aquí veremos que las operaciones de sustracción y división poseen solamente
la propiedad de cerradura. Las operaciones de suma y multiplicación poseen las
siguientes propiedades.

SUMA
Dados a, b, y c ∈ Q

MULTIPLICACIÓN
Cerradura

a+b∈Q

a.b∈Q

Conmutativa
a+b=b+a

a.b=b.a
Asociativa

a + (b +c) = (a + b) + c

a . (b . c) = (a . b) . c
Neutro (o identidad)

Existe 0 ∈ Q ∋
a+0=0+a=a

Existe 1 ∈ Q ∋
a.1=1.a=a
Inverso

∀ a ∈ Q, ∃ (-a) ∈ Q ∋
a + (-a) = (-a) + (a) = 0

∀ a ≠ 0 ∈ Q, ∃ a-1 ∈ Q ∋
a - a-1 = a-1 - a = 1
Propiedad distributiva
a . (b + c) = a . b + a . c

El conjunto de números irracionales, denotado por Q’ O Qc , es el conjunto de
números que no son racionales; es decir, que...