Unidad 1 feno 1






Ecuaciones diferenciales parciales
Unidad 1


Leon Hernandez
Instituto Tecnologico de Veracruz
Alumno Antonio Dominguez Hernandez










Contenido

1.1 INTRODUCCIÓN A LA MODELACIÓN MATEMÁTICA. APLICACIONES EN LA INGENIERÍA BIOQUÍMICA. 2
1.2 Caracterización, importancia, condiciones de entorno, solución de EDP y aplicaciones. EDP elípticas, parabólicas e hiperbólicas. 6
1.3 Métodosanalíticos de solución de EDP elípticos: separación de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales ortogonales. Superposición de soluciones. 11
1.4 Métodos analíticos de solución de EDP parabólicas: Transformada de Laplace. 17
1.5 Soluciones de EDP en coordenadas cilíndricas y esféricas. Ecuación diferencial de Bessel, funciones de Bessel Jn (X), Yn(X) y funcionesmodificadas de Bessel ln(X), Kn((X). 25
1.6 Métodos numéricos de solución de EDP: malleo y driscretizacion, Diferencias finitas para EDP elípticas y diferencias finitas acoplada a métodos de Rungekutta para EDP parabólicas. 43
1.7 Ejemplos de aplicación. 48










1.1 NTRODUCCIÓN A LA MODELACIÓN MATEMÁTICA.

Este método se aplica en aquellas situaciones donde el estudio o análisis del objetocognitivo es inviable, resulta muy costoso o demasiado riesgoso. El trabajar con el modelo del objeto cognitivo y no con su original ofrece la ventaja de que, en forma segura, rápida y sin grandes gastos económicos permite estudiar las propiedades del objeto cognitivo en cualquier situación imaginable.
La aplicación de la modelación matemática consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por suimagen matemática (modelo matemático) la cual, implementada en algoritmos lógico – numéricos en un ordenador, permite estudiar las cualidades del proceso original. Este método de cognición conjuga las ventajas de la teoría y del experimento. Al trabajar con el modelo matemático y no con el objeto cognitivo, en forma relativamente rápida y a bajos costos, se pueden estudiar y pronosticar suspropiedades de estado (ventaja teórica). Al mismo tiempo los algoritmos numéricos permiten, apoyándose en la potencia de cálculo de los ordenadores, verificar las cualidades del objeto cognitivo en una forma no accesible para los enfoques teóricos (ventaja del experimento). El segundo nacimiento de la modelación matemática tuvo lugar con la aparición del ordenador en los años 40 – 50 del siglo XX y fueimpulsado por los requerimientos, sin precedente, de los gobiernos de Estados Unidos y de la Unión Soviética (Samarsky y Mikhailov,1997) para la creación de escudos de defensa antiaérea contra mísiles nucleares. En este caso matemática cumplió con todas las expectativas, explosiones nucleares, trayectorias de misiles y lanzamiento de satélites fueron realizados con anterioridad en las entrañas deordenadores con la ayuda de modelos matemáticos. Este éxito contribuyó al desarrollo de la modelación matemática hasta sus niveles actuales posicionándola en el núcleo estructural de la sociedad de la información

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos.
Ecuación de la conducción del calor. La constante C,llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.


Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquierade la cuerda en el instante . La constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.

Ejemplo:
Encontrar la superficie solución de la E.D.P

Que tenga la propiedad de contener la curva intersección de la superficie z = y2 con el plano x = 0.





1.2 Caracterización, importancia, condiciones de entorno, solución de EDP y aplicaciones. EDP elípticas, parabólicas e hiperbólicas.

Ecuación en...