UNIDAD 1 GEOMETRIA ANALITICA
Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicadossobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1). .Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntoscorresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
(1)
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema dePitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
DISTANCIA MEDIA.
Las coordenadas del punto medio M de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento, A y B:
A = (x1, y2) B = (x2, y2 )
M= (x,y) donde :
X= ( x1 + x2)/2
Y= ( y1+ y2 ) / 2
Por tanto: PM ((x1 + x2)/2, (y1 + y2) / 2)
1.1.1 REPRESENTACION GRAFICA QUE EXPRESA LA DISTANCIA ENTRE DOSPUNTOS DE UNA RECTA EN CONTEXTO.
2 Representación gráfica de la distancia entre dos puntos
3 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
4 Demostración
5 Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
6 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada pord = esta dada por:
7 (1)
8 En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta
9 Figura 1
10 Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
11
12Pero: ;
13 y
14 Luego,
15
16 Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
17 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
18 Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia quedadeterminada por la relación:
19
20 Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
21 Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)
22
23
24
25
26 d = 5 unidades
1.1.2 REPRESENTACION GRAFICA DEL PUNTO MEDIO DE UNA RECTA EN CONTEXTO
Enalgunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+) un circulo, cuadrado o triangulo. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula (a las rectas con letras minúsculas). La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña cruz “+”) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otrafigura geométrica presupone que el punto es su centro.
1.1.3 CALCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PUNTO MEDIO EN FORMA ANALITICA
Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas
1.1.4 LA RECTA COMO LUGAR GEOMETRCO
Existen múltiples enfoques de...
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