Unidad 1 Limite Y Continuidad 1

Unidad 1
limites y continuidad en funciones de una variable

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Nombre

símbolo

Elementos

Naturales

N

Enteros positivos
1,2,3,……

Naturales Incluido el
cero

N0

El cero y los Enteros positivos
0,1,2,3…….

Enteros

Z

Enteros + y Enteros –
…….-3,-2,-1,0,1,2,3……

Fraccionarios

Q

Decimales y Fraccionarios

Irracionales

I

Decimales no periódicos e
infinitos

Reales

RTodos los números

Valor absoluto
Definición: se denomina valor absoluto o módulo de un número real x al número real no
negativo, que satisface las condiciones

x 0
 x si
x 
  x si x  0
El valor absoluto de un numero real a se puede definir también por medio de la siguiente formula

x  x2
Geométricamente (en la recta) representa la distancia del punto x al origen o valor cero

x  x 2  x  4 4

-4

4

0

4

4

Propiedades de los valores absolutos
1) Para cualquier numero real distinto de cero el valor absoluto de dicho numero es
mayor que cero

x : x 0  x  0
2) El valor absoluto de dos números opuestos son iguales

x

x  x

3) El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos
de los factores

x. y  x . y

4) el valor absoluto del cociente esigual al cociente de dividir el valor absoluto del
dividendo por el divisor.

x
x

y
y

Propiedades de los valores absolutos
5) El valor absoluto de la suma algebraica de varios números reales no es mayor que la
suma de los valores absolutos de los sumandos

desigualdad triangular

xy  x  y

6) El valor absoluto de la diferencia de dos números reales no es menor que la diferencia
de los valoresabsolutos del minuendo y sustraendo

x y  x  y

7)

K  0; x : x K   k  x k

8)

K  0; x : x K  x k  x  k

Intervalos
La geometría analítica establece una correspondencia entre los puntos de una recta y los
números reales. De esta forma, a cada número real le corresponde un punto de la recta y a
cada punto de la acta un único número real.

Para armar la representación grafica sefija un puno origen sobre la recta que corresponde al
0 y otro punto a la derecha para representar el 1, con lo cual queda establecida la escala. Se
establece la relación de orden geométricamente considerando que si b>a, entonces el punto
b está a la derecha del punto a y si el puno b está a la izquierda b es menor que a.

a

-1

0

1

b

a
Dados a y b y ambos pertenecientes a los reales,siendo a menor que b, a definimos:
Intervalo cerrado

 a, b

es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los números
comprendidos entre ambos.
Lo escribimos de la siguiente manera

 a, b  x / x  R 
Llamamos amplitud del intervalo

a

a  x b

 a, b

b a

al numero positivo b-a

b

Intervalo abierto

 a, b 

Es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b
Loescribimos de la siguiente manera

 a, b   x / x  R 
Llamamos amplitud del intervalo

a

 a, b 

b a

a  x  b
al numero positivo b-a

b

Intervalo semiabierto a la izquierda

a

Intervalo semiabierto a la derecha

a

 a, b  a, b  x / x  R 

b

b a

 a, b 

b a

a  x b

 a, b   x / x  R 

b

a  x  b

Entorno
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h esun número real positivo, entorno
reducido de centro a y radio h es el conjunto de puntos del intervalo abierto

Se lo designa

a 

h, a  h 

E(a,h)

E (a, h)  x / a  h  x  a  h

o

h
a-h

E (a, h)  x / x  a  h
h

a

a+h

Entorno reducido
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h es un número real positivo, entorno
reducido de centro a y radio h es el conjunto de puntos delintervalo abierto

a 

h, a  h 

del cual se excluye el punto a.
Se lo designa

E´ a, h 

E ´(a, h)  x / x a  a  h  x  a  h

h
a-h

E ´ ( a, h)  x / 0  x  a  h

o

h

a

a+h

Punto de acumulación
Si C es un conjunto de puntos de la recta real, un punto a es un punto de acumulación de C si
a todo entorno reducido de a pertenece por lo menos un punto de C.
El punto a puede...

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