Unidad_1_numeros_reales

UNIDAD 1.- Números reales (temas 1 del libro)
1.

NUMEROS NATURALES Y ENTEROS

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la
posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). Se representa por N y sus elementos son.
N = {0, 1, 2, 3,….}
El conjunto de los números enteros son los naturales y sus correspondientes negativos. Serepresenta por  y
sus elementos son:
 = {…, -2, -1, 0, 1, 2,...}
Gráficamente se representan en una recta horizontal,

Un nº entero a es menor que otro nº entero b cuando ( b  a ) es positivo, o bien gráficamente cuando a
está a la izquierda de b . Se nota por a  b y gráficamente es,

Un nº entero a es mayor que otro nº entero b cuando ( b  a ) es negativo, o bien gráficamente cuando a
está ala derecha de b . Se nota por a  b y gráficamente es,

Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que de manera burda consiste en
convertir al nº en positivo si fuera negativo, y si es positivo dejarlo tal cual.
La definición correcta es la siguiente:
 a si a  0
a =
 a si a  0
Ejemplos:
|-4| = -(-4) = 4
|9| = 9
|0| = 0
2. NÚMEROS RACIONALES. POTENCIAS
Se llamanúmero racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero. Matemáticamente se expresa como sigue:

El concepto de potencia de un nº racional y exponente natural es análogo al conocido para los enteros, así
por ejemplo:
4

2 2 2 2 24
2
   · · ·  4
3333 3
3
Así, se define la potencia de base un nº racional,

a
, y exponente enterocomo:
b

n

-

Si el exponente es entero positivo:

an
a
   n
b
b

1

UNIDAD 1.- Números reales

0

-

a
  1
b

Si el exponente es cero:

n

n

bn
a
b
Si el exponente es entero negativo:       n
a
b
a
Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un nº entero
-

n

1

n

m

a a
a
2)        
b b
b

a
a
1)   
b
b
m

aa
a
3)   :     
b b
b
n

nm

 a   c 
a  c 
5)           
b d 
 b   d 
n

nm

m

n m
 a  n 
a
4)      
b
 b  
n

 a   c 
a  c 
6)   :      :  
b d 
 b   d 

n

n

n

NOTA: Jerarquía de operaciones:
1) Los paréntesis y/o corchetes y empezar por los más internos
2) Potencias
3) Productos ydivisiones
4) Sumas y rectas
Ejercicios resueltos:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

3. RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES
Cualquier nº racional se puede expresar como un nº decimal exacto, periódico puro (la parte decimal es sólo
periódica) o periódico mixto (la parte decimal tiene una parte no periódica) sin más que dividir numerador entre
denominador de la forma habitual


131
514
272
6,55
 28, 5
 1,3 36
20
18
220
2

UNIDAD 1.- Números reales

Análogamente, cualquier nº decimal exacto, periódico puro o periódico mixto se puede expresar como un nº
racional. Veamos unos ejemplos,
2,23 

223
100



3,12 

312  3 309 103


99
99
33



 4,23 7  

4237  423 3814 1907


900
900
450

Podemos concluir entonces, que los números racionales equivalen al conjunto formado porlos decimales
exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.
4. NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES
Hay números decimales con infinitas cifras decimales que no son periódicos como por ejemplo:
3,101001000100001….
-354,145141451414145…..
A estos números los llamamos irracionales y se notan por I, y son aquellos números que no se pueden
representar por una fracción.
Los númerosirracionales más conocidos son:
-

El número  :  = 3,14159265…..
El número 2 : 2 = 1,41421356….

-

El número de oro  (número áureo):  

-

El número e : e = 2,7182818284…….

1 5
= 1,61803398….
2

El conjunto de los números racionales en unión con los números irracionales forman el conjunto de los números
reales y se denota por la letra R
R=Q  I
Los números reales llenan por completo la recta,...