Unidad 1 N meros reales

Unidad 1. Números reales
Competencia específica a desarrollar
Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable para
modelar y de la derivada para resolver. Comprender las propiedades de los números reales para
resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor
absoluto, representando las soluciones en la recta numéricareal.

1.1. La recta numérica
Entre los muchos sistemas usados para representar un grupo de números, uno de los más útiles es
la recta numérica. Para ilustrar la construcción de una recta numérica coloquemos los elementos
del grupo de los números naturales en correspondencia uno a uno con los puntos de la una línea.
Puesto que los números naturales están igualmente espaciados, seleccionamos lospuntos tales
que las distancias entre ellos sean iguales. El punto inicial se señala como 0, el que sigue, 1, el
siguiente, 2, etc., usando los números naturales en el orden normal de contar. (ver fig. 1) A tal
disposición frecuentemente se le denomina escala y un ejemplo familiar lo constituye la escala
del termómetro.
La recta numérica es un sistema ideal para representar las relaciones entreenteros y otros
números tales como las fracciones y los decimales. Es evidente que sobre la línea existen muchos
puntos además de aquellos que representan los enteros. Ejemplo de ello son los puntos que
representan los números ½ y 2.5.

Fig. 1. La recta numérica
Números negativos
Los números que presentan un signo más o menos se llaman números con signo. Un número sin
signo se entiendo que es positivoy se le trata como si estuviera precedido por un signo más.
Si se desea realzar el hecho de que un número es positivo, se coloca un signo más al frente del
número, como en +5, que se lee “más cinco”. Por lo tanto, +5 ó 5 indica que el número 5 es
positivo, Si un número es negativo, aparece un signo menos, como en -9.
Al tratar con números con signo debe hacerse notar que los signos más y menostienen dos
funciones separadas y distintas. Pueden indicar cuándo un número es positivo o negativo, y
también señalan la operación de la adición o sustracción.
Cuando se opera totalmente con números positivos no es necesario preocuparse de esta
distinción, ya que los signos más o menos indican solamente adición o sustracción.

Sin embargo, cuando en un cálculo están incluidos también númerosnegativos es importante
distinguir entre un signo de operación y el signo del número.
Para determinar cuándo un número particular es mayor o menor que otro se piensa en todos los
números, tanto positivos como negativos, ordenados a lo largo de la recta numérica.
El cero se coloca en el centro de la línea. Los números positivos se extienden desde cero hacia la
derecha. Los números negativos se extiendendesde cero hacia la izquierda (ver fig. 2). De éste
modo, los números van desde los más pequeños hasta los más grandes cuando se desplazan de
izquierda a derecha a lo largo de la línea. Todo número que se encuentra a la izquierda de un
número dado es menor que él. Este disposición muestra que todo número negativo es menor que
cualquier número positivo.

Fig. 2. Recta numérica mostrando los númerospositivos y negativos.
Valor absoluto de un número entero.
Los números +3 y -3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos
números enteros están formados por el mismo natural, el 3, aunque con distinto signo.
El número natural 3 se llama valor absoluto de +3 y -3, y si indica así:
|+3| = |-3| = 3
Localización de fracciones en la recta numérica
Todas las fracciones puedenubicarse en la recta numérica. Estudiemos cómo se hace en cada uno
de los casos.
Fracción propia
Toda fracción propia se ubica entre el 0 y el 1 de la recta. Sólo habrá que dividir ese segmento de
recta en las partes que indica el denominador de la fracción; mientras, el numerador nos señala
cuántas partes hay que tomar. Por ejemplo, si ubicamos 2/3 en la recta numérica, dividimos en 3
partes...