Unidad 2 1
Sea:
POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.
La definición de potenciación de exponente entero se generaliza al caso en que el exponente es un número racional ,siendo m y n números enteros, de manera tal que si n es igual a 1 es decir , coincida con la definición de exponente entero y verifique las mismas propiedades.Si a es un número real negativo, esta definición tiene sentido solo si n es impar.
ACTIVIDADES:
1) Calcular las siguientes potencias:
2) Expresar cada uno de los siguientes radicales como una potencia de exponente fraccionario:
3) Calcular:
4) Realizar lassiguientes operaciones (Sugerencia: escribir como potencias de exponente racional y resolver).
RADICACIÓN
Para cada número real positivo a, y para cada entero positivo n, existe un único número real positivo b tal que bn = a
El número b se llama raíz enésima de a y se representa
Observemos que:
1) La raíz enésima es un número realpositivo y se ha definido solo para números reales positivos . De esta manera, el valor es único para cada y para cada , pues:
Si a fuese un número real negativo, solamente existe un único b tal que bn=a, si el índice n es impar.
Así por ejemplo
Si a fuese un número real negativo y el índice n es par, no existe ningún número real b tal que bn =a
Asi no tiene sentido en R pues noexiste ningún número real cuyo cuadrado sea
-16, pues 42 = 16 y (-4)2 = 16
2) La ecuación xn – a = 0 tiene solución en R y esta solución es si n es impar.
Aclaración: En la expresión es el signo radical, n es el índice, a el radicando y b la raíz enésima de a
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.
Dados a, y
1- La raízenésima de un producto es el producto de las raíces enésimas de los factores, siempre que los factores sean positivos, es decir:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
En este caso no se distribuye la raíz, pues la raíz cuadrada no está definida si el radicando es negativo.
2- La raíz enésima de un cociente es el cociente de las raíces enésimas deldividendo y del divisor, siempre que estos sean positivos, es decir
Ejemplo:
3- La potencia emésima de una raíz enésima es la raíz enésima de la potencia emésima del radicando es decir:
Ejemplo:
4- La raíz emésima de la raíz enésima de a es la raíz de índice igual al producto de los índices y radicando igual alnúmero a, es decir:
5- Una raíz enésima no varía si se multiplican o dividen por un mismo número el índice y el exponente del radicando, es decir:
Ejemplo:
Ejemplo:
Para aplicar:
a) Indicar V o F. Justificarb) Aplicando las propiedades correspondientes hallar:
Aclaración: Llamamos radical a toda expresión numérica o literal afectada por el signo radical.
Ejemplo: donde es el signo radical, 3 el índice y 2ab2y es el radicando.
Los factores que componen el radicando los consideramos siempre positivos. Las letrasrepresentarán en todos los casos números reales positivos.
EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL RADICAL.
Teniendo en cuenta las propiedades de la radicación, extraeremos factores fuera del radical, cuando los factores que figuren en el radicando sean potencias de exponente mayor o igual que el índice de la raíz.
Ejemplo:
Extraer factores de los siguientes radicales
Expresando el...
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