Unidad 2 calculo para la admon

Fundación Universitaria Católica del Norte
Ingeniería Informática
Nombre de la asignatura: Cálculo Para Administración de Empresas
Profesor: Eucario Parra Castrillon

UNIDAD No 2: DERIVACION
1. Concepto intuitivo de derivada
El estudio de las funciones matemáticas desde un punto de vista dinámico, es posible
al concepto de derivación. En general, este concepto puede explicar el cambio funcional
ola razón del cambio de una variable con respecto a otra ( como es el cambio de esa
variable y como se cuantifica). La dedicación puede explicar por ejemplo, con que
rapidez ocurre el cambio.
El estudio de la variación de una función, conduce a la variación instantánea o derivada
de esa función en un punto del plano cartesiano. En ciertos problemas para hacer un
modelado matemático, se hacenecesario hallar la derivada en varios puntos de la
gráfica que representa a la función, para determinar la variabilidad de esta.
Puede decirse entonces, en conclusión, que la derivada de una función, es una expresión
algebraica que explica como es la variación de esa función. Algunos casos que se
explican con el concepto de derivada son los siguientes:
a) La variación de la posición de un carro enfunción del tiempo. Esto es, si en cada
instante el carro esta cambiando de posición, entonces hay una variación que depende
del la variable tiempo.
b) La variación del precio de un producto en función de la demanda. Esto es, el precio
sube o baja, según el incremento o decremento en su demanda.
c) El incremento de la población de un país, en términos de us población actual. O sea,
la variación de lapoblación futura de ese país, depende de las condiciones de la
población actual.
En estos tres casos, las funciones matemáticas nos pueden expresar los cambios entre
posición con respecto al tiempo, precio con respecto a la demanda y población futura
con respecto a la población actual.
2. Definición matemática de derivada
Se llama derivada de una función

f ( x)

lim
x

0

f (x

x)
x

f ( x)

.

f(x ) en el punto x a

Esto lee de la siguiente forma: “Si f(x) es una función,
derivada se halla como el limite cuando los incrementos tienden a cero,
de la diferencia entre la función y esos incrementos”.
Mas concretamente aun: La derivada se concibe como el limite entre la
función y el incremento de esa función. Dentro de las matemáticas es
usual representar la derivada de la función con la fy la comilla
superior, lo que se puede leer como “f prima de x”.
Como hallar las derivadas con la anterior definición de límite, puede
resultar un proceso tedioso y complejo, en el cálculo diferencial para
simplificar procesos se aplican las siguientes formulas:

1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.

8.

9.

10.

11.

, siendo c una constante.

entonces

En las anteriores formulas, las letras u y v se utilizanen representación de funciones.
Esto es, u es una función f(x) y v es otra función g(x).
Ejemplo No 1
Hallar las derivadas de la siguiente función:
f ( x)

x2

2x 2

Se aplica la formula 1. La derivada de una suma, es igual a la suma de las derivadas.

d ( f ( x))

d ( x 2 ) d (2 x) d (2)

Se aplica la formula 10: d ( x 2 ) 2 x
Se aplica la formula 4: d (2 x) 2d ( x)
Se aplica la formula 2: d ( x)1
Se aplica la formula 1: d (2) 0

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Reemplazamos (4) en (3): d (2 x) 2(1) 2
Luego la derivada tiene el resultado siguiente:
d ( f ( x))

2x 2 0

d ( f ( x))

2x 2

Ejemplo No 2
Hallar la derivada de f ( x)

d ( f ( x))

4 x3 3x 2 6 x 7

4(3x 2 ) 3(2 x) 6(1) 0

d ( f ( x)) 12 x 2 6 x 6
Ejemplo No 3
Hallar la derivada de f ( x) 6 2 x 3x 2
d ( f ( x))
d ( f ( x))

0 2(1) 3(2 x)
26x

Ejemplo No 4
En el siguiente ejercicio se utiliza la formula No 9, la derivada de un cociente o una
fracción:

x2

f ( x)

u

x2

v

x

5x
x 1

5x

6

6

1

d ( f ( x ))
d ( f ( x ))
d ( f ( x ))
d ( f ( x ))
d ( f ( x ))
d ( f ( x ))
d ( f ( x ))

d ( x2

5x

6)( x

1) ( x 2
( x 1) 2

(2 x

5 x )( x

(2 x

5 x )( x

(2 x

5 x )( x

2x2

2x

5x2
(x

7 x2

7x
(x

x2
5x
2
1)

6 x 2 12 x
( x...