unidad 2 probabilidad y estadistica




1. Probabilidad
La probabilidad es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra.
P (a): nº de resultados en que ocurra a
Nº de resultados posibles
2. Probabilidad condicional
La probabilidad de que un evento  ocurra cuando se sabe que ya ocurrió unevento  se llama probabilidad condicional y se denota por  que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad,  definida como











3. Permutaciones
Una ordenación de un conjunto de n elementos se llama permutación. Dos permutaciones pueden contener losmismos elementos, pero difieren en el orden en que están colocados.
 
Ordenar n objetos es equivalente a tomar una caja con n compartimentos y poner cada elemento en un compartimento en algún orden específico.
 
1
2
3
.
.
.
n
 
Existen 4 casos posibles de permutaciones:
 
 
a) Cuando se Tienen n Elementos Diferentes y se Toman Todos a la Vez.
 
Si analizamos la cajacon n compartimentos, observamos que la primer casilla se puede llenar de n formas diferentes, la segunda de (n-1) formas, la tercera de (n-2) formas, . . . , y la última casilla de sólo una forma. Aplicando el principio de multiplicación vemos que la caja se puede llenar de:
 
n (n-1) (n-2) . . . 1 = n!    formas diferentes.
 
Si representamos con  el número de permutaciones cuando se toman todos los nelementos a la vez, entonces  = n!.
 
En este momento es conveniente recordar, para que haya mayor claridad, que el producto de los enteros positivos desde uno hasta n se denota con el símbolo n!  y se lee “n factorial”. Así mismo, que por definición  0! = 1.

b) Cuando se tienen n Elementos Diferentes y se toman r a la Vez.
 
En este caso se seleccionan r de los n objetos, tal que rn yrepresentamos por  el número de permutaciones posibles. Nuevamente recurramos al procedimiento de dividir una caja en r compartimentos, porque sólo se toman r de los n elementos. El primer compartimento puede llenarse de n formas diferentes, el segundo de (n-1) formas, el tercero de (n-2) formas y así sucesivamente hasta la r-ésima casilla, la última, que puede ser llenada de n-(r-1) = n– r+1formas. Así = n(n-1)(n-2). . . (n-r+1). Si multiplicamos y dividimos esta expresión con (n-r)! la ecuación no se altera y nos queda:
 

 
por lo tanto:
 



c) Cuando todos los Elementos son Diferentes y se Colocan en Forma Circular (Permutaciones Circulares).
 
Dos permutaciones circulares son diferentes cuando los arreglos están precedidos o seguidos por un elemento diferente al avanzar en un sentidou otro. Así, si cuatro personas están sentadas alrededor de una mesa y todas se desplazan una posición en el mismo sentido, no se tendrá una permutación diferente, pero si se deja a una persona fija y se mueven a las tres restantes en todas las formas posibles, se tendrán 3! = 6 formas diferentes de sentarse. Esto equivale a permutar todos los (n-1) elemento a la vez, por lo que:
 
El número depermutaciones circulares de n objetos diferentes es (n-1)!.

4. Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:Las combinaciones se denotan por 
Ejemplos
1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.


2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.



Combinaciones con repetición
Las combinaciones con...