UNIDAD 2 TEORIA PRELIMINAR




instituto TECNOLÓGICO superior de CHAMPOTÓN

materia: ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR: BERNARDO COSGAYA BARRERA


tema: unidad 2 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

4to semestre INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA



alumno: David alfonso aguilar flores








INTRODUCCIÓN

Cuando hablamos de las ecuaciones diferenciales se trata de una ecuación de primer orden, es aquella queconsiste en una diferencial de primer orden, esto es igual a y’ o (dy/dx). De igual manera, una ecuación diferencial de segundo orden consiste en un diferencial de segundo orden. Existen muchas teorías similares que se pueden definir una ecuación diferencial de orden n.

Sólo en el caso de las ED lineales de primer orden se pueden obtener soluciones generales considerando ciertas condicionesiniciales. Recuerde que una solución general es una familia de soluciones definida en algún intervalo I que contiene todas las soluciones de la ED que están definidas en I. Como el objetivo principal de este trabajo es encontrar soluciones generales de ED lineales de orden superior, primero necesitamos examinar un poco de la teoría de ecuaciones lineales.





















Definición de laecuación diferencial de orden n
Los nombres de la ecuación diferencial se colocan de forma muy significativa. Como su nombre lo indica, una ecuación diferencial de primer orden es aquella que consiste en un diferencial de primer orden, esto es, y’ o . Del mismo modo, una ecuación diferencial de segundo orden consiste en un diferencial de segundo orden. Un concepto similar se puede extender para definirla ecuación diferencial de orden n.
Esto es, una ecuación diferencial de orden n es aquella que consiste en un diferencial de orden enésimo. Un diferencial de orden enésimo es del tipo y(n) o .Una ecuación diferencial general de orden enésimo puede representarse como,

Muchos de los problemas matemáticos en el campo de la física, ingeniería, etc. Pueden ser modelados con la ayuda de la ecuacióndiferencial de enésimo orden.
El orden de la ecuación diferencial de enésimo orden es n. Esto es, el orden de la ecuación diferencial es igual al orden del mayor diferencial que aparece en la ecuación diferencial dada. Como se mencionó anteriormente, el concepto de una ecuación diferencial de orden n es una extensión de la ecuación diferencial de primer o segundo orden. Esto implica que es posibleimplementarlos resultados formulados para la ecuación diferencial de primer y segundo orden se pueden también fácilmente para la ecuación diferencial de enésimo orden.






Problemas de Valor Inicial
Un problema de valor inicial puede ser considerado como una ecuación diferencial que está sujeta a algunos pre-requisitos iniciales o condiciones iniciales que ayudan en la determinación de unasolución particular para la ecuación diferencial dada. Las condiciones iniciales son expresadas en términos de la función indefinida dada en la ecuación diferencial.
Matemáticamente, un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria como,

La solución del problema de valor inicial es también la solución de la ecuación diferencial junto con la cual está dada. Además, la solucióndebería satisfacer la condición,

El concepto de problemas de valor inicial puede ampliarse fácilmente para las ecuaciones diferenciales de enésimo orden. Para las ecuaciones diferenciales de enésimo orden, tenemos una ecuación diferencial de enésimo orden y junto con esta son establecidos pre-requisitos n iniciales.
Entre estos pre-requisitos n iniciales, uno es dado para la función indefinida misma, lacual es dada en la ecuación diferencial y el resto de las condiciones(n -1) son establecidas para los diferenciales de la función indefinida hasta (n - 1) orden. También es esencial que el diferencial enésimo de la función indefinida no sea igual a cero en la ecuación diferencial dada.
Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial de orden superior puede ser dada como,

Dadas las...