Unidad 2

Unidad 2: Estado Sólido

Redes de Bravais

P = primitiva (sólo hay un punto de red dentro la celdilla, uno por vértice repartido en ocho vértices, 8/8=1) C = centrada en las caras perpendiculares al eje c de la celdilla (además de un 8/8 de punto por vértice) I = centrada en el cuerpo de la celdilla (además de los 8/8 habituales) F = centrada en todas las caras de la celdilla (además de los8/8 habituales) R = primitiva, con ejes iguales y ángulos iguales, ó hexagonal doblemente centrada en el cuerpo (además de los habituales)

Los siete sistemas de estructura cristalina y las 14 redes de Bravais

Parámetros de red

Celdas unitarias cúbicas

nodos  1 = (8 esquinas)   = 1 celda 8

nodos  1 = (8 esquinas)   + (1centro)(1) = 2 celda 8

nodos  1  1 = (8esquinas)   + (6 caras)   = 4 celda 8 2

Determinar la relación entre el radio atómico y el parámetro de red en las estructuras cúbica simple, cúbica centrada en las caras y cúbica centrada en el cuerpo

a0 = 2r

a0 =

4r 2

a0 =

4r 3

Estructura hexagonal compacta

Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria

Indices de Miller Direcciones en la celda unitariaProcedimiento: • Utilizando un sistema coordenado “derecho” se determinan las coordenadas de dos puntos que están en esa dirección • Se restan las coordenadas del punto “posterior” de las del punto “anterior” → parámetros de red medidos en la dirección de cada eje del sistema coordenado • Se eliminan las fracciones y/o se reducen los resultados obtenidos de las restas , a los enteros mínimos • Seenuncia los números entre corchetes [ ]. Si se obtiene un signo negativo, se representa con una barra sobre el número.

Ejemplo 1
Indices de Miller de las direcciones: A: [1 0 0 ] B: [1 1 1]

C : 122

[

]

Planos en la celda unitaria
Procedimiento: • Se identifica los puntos en los cuales el plano intersecta a los ejes coordenados x, y, z. Si el plano pasa por el origen, se debedesplazar el origen del sistema de coordenadas. • Se obtienen los recíprocos de estas intercepciones. • Se elimina las fracciones, pero no se reducen a mínimos enteros. • Se encierra las cifras resultantes entre paréntesis ( ). Los números negativos se representan con una raya sobre la cifra.

Ejemplo 2 Determinar los índices de Miller de los planos A, B y C

Plano A: (1 1 1)

Plano B: (0 2 0)Plano C : (0 1 0)

Ejemplo 3

(0 2 0 ) (0 2 0 )

Indices de Miller que sólo difieren en el signo, identifican al mismo plano

Ejemplo 4 En una celda unitaria cúbica simple, los planos (010) y (020), son idénticos?

• Plano (010) intercepta ejes en (∞,1,∞) • Plano (020) intercepta ejes en (∞,1/2,∞) Los planos son paralelos pero diferentes

Comparación de la densidad planar(fracción del plano ocupada por átomos)

1  2 1  atomo / esquina (4 esquinas ) πr * 4 * πr 2 4  Densidad planar (010) =  =4 = 0,79 2 a0 (2r )2
Densidad planar (020) = 0

( )

Los índices de Miller de un plano y sus múltiplos NO representan planos idénticos.

Indices de Miller para planos en celdas unitarias hexagonales
• Sistema de coordenadas con 4 ejes (Indices de Miller-Bravais) •La tercera coordenada es la suma de las dos primeras, con signo negativo • Planos: (a1,a2,a3,c) • Direcciones: (a1,a2,c)

Ejemplo 5 Determinar los indices deMiller-Bravais para los planos A y B, y las direcciones C y D

Plano A : (0 0 01) Plano B : (11 2 1) Dirección C : [ 1 01] Dirección C : [ 1 10]

Planos y Direcciones de Compacidad
Aquellos en que los átomos están en contacto continuoEstructura Hexagonal compacta Planos de compacidad: (0001) A y (0002) B → planos basales

Estructura Cúbica Centrada en las Caras Planos de compacidad: {1 1 1}

Difracción de rayos X

Difracción de Rayos X
Ley de Bragg nλ = 2d sen θ
• d: distancia entre las capas atómicas en un cristal • λ : longitud de onda de los rayos X incidentes • n: un número entero

Irregularidades en el...