UNIDAD 2

Contenido de la Unidad 2
FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD 2
2.1 CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO. 2
Notación de conjuntos 2
Leyes del álgebra de conjuntos 3
Técnicas de conteo. 6
Notación Factorial. 6
Permutaciones. 7
Combinaciones. 8
Diagrama de árbol. 9
2.2 CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA. 11
Definición clásica de probabilidad. 11
Definición de probabilidad como frecuencia relativa. 122.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS. 14
2.4 AXIOMAS Y TEOREMAS. 14
2.5 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE. 15
2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. 19
Probabilidad Condicional. 19
Regla de Multiplicación. 22
Regla de probabilidad total para dos eventos dependientes. 22
Independencia (Probabilidad conjunta). 23
Regla de multiplicación de múltiples eventos (independientes). 23
2.7 TEOREMA DE BAYES 25Problemas resueltos. 26
Probabilidad Condicional en Espacios Finitos Equiprobables 26
Teorema de la multiplicación. 30
Problemas Varios Sobre Probabilidad Condicional 32
Procesos Estocásticos Finitos 34
Independencia 38


FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
2.1 CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO.

Conjuntos. Un conjunto es un grupo de objetos dentro de un todo definido y bien diferenciado: por ejemplo, un grupode estudiantes, un juego de cartas, las cuentas de un collar, etc. 1
Notación de conjuntos

A, B, C, X, Y
Conjunto
a, b, c, x, y
Elementos de un conjunto
1, 2, 3, 4, 5
Elementos de un conjunto

A= a, b, c, d

Definición de los elementos de un conjunto (forma tabular)


B= x│x es par

Definición de los elementos de un conjunto (forma constructiva)
C¯
¯¯
Subconjuntos de
│
Tal que
єElementos de, pertenece a
є
No es elemento de, No pertenece a
=
Igual
≠
Diferente
<
Menor que
>
Mayor que
≤
Menor o igual que
≥
Mayor o igual que
U
Unión
∩
Intersección
O, U, V
Disyunción
∩, Y, Λ
Conjunción
Ø
Conjunto vació
U
Conjunto universal
IN
Conjunto de s naturales
Z
Conjunto de s enteros
IR
Conjunto de s reales

No, Negación

Para cada

Para todo

Si, Entonces

Si y solo si
¢No es subconjunto de
Ac, A'
Complemento de

Leyes del álgebra de conjuntos


Leyes de idempotencia

1a AUA = A
1b A∩A = A
Leyes Asociativas
2a (AUB) UC = AU (BUC)
2b (A∩B) ∩C = A∩(B∩C)
Leyes conmutativas
3a AUB = BUA
3b A∩B = B∩A
Leyes Distributivas
4a AU (B∩C) = (AuB) ∩(AUC)
4b A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C)
Leyes de identidades
5a AU Ø = A
5b A∩U = A
6a AU U = U
6b A∩ Ø = Ø
Leyesde complemento
7a AUAc = U
7b A∩Ac = Ø
8a ( Ac) c = A
8b U c = Ø , Ø c = U
Leyes de Morgan
9a (AUB) c = A c∩Bc
9b (A∩B) c = A cuBc



Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones, de acuerdo a los siguientes conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

C= {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 23}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,22, 23}


Solución:






a) (A'UB') ∩C' = 1, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22


(A'UB') = (AUB)' C' Resultado






b) (AUC) ∩(AUB) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


(AUC) AUB Resultado





c) (A'∩B') U (A'C) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23


(A'∩ B')= (A∩B)(A'uC) Resultado



d) (A'U Ø)'∩(B'U U ') = 1, 3, 5, 7


A'UØ (A'U Ø)' (B'U U ') =(B'U Ø) Resultado


e) C'∩B ∩ (Ø'∩A') = 8, 10, 12


C' B C'∩B (Ø'∩A') = (ØUA)'





Resultado





Técnicas de conteo.

Las técnicas deconteo generalmente se utilizan como un medio para determinar el total de resultados. Se clasifican en:

Notación factorial.
Combinaciones
Permutaciones
Teorema del binomio

Notación Factorial.

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee “n factorial”): 2

n!=(1) (2)...