UNIDAD 2

Fundamentos de Matemática

Área Matemática
UNIDAD 2

Conteo. Principios básicos de conteo. Arreglos, combinaciones y permutaciones,
simples y con repetición. Números de Stirling, principio del palomar, principio de
inclusión-exclusión. (20hs)
Consideraciones iniciales
-

-

-

El siguiente material tiene por objeto ser un apoyo para los estudiantes que
cursan Fundamentos de Matemática delprofesorado de Matemática en el
marco del Plan Único de Formación Docente (Plan 2008).
Muchas partes son transcripciones de los libros: i) “Matemática Discreta y
Combinatoria” de R. Grimaldi, ii) “Teoría Combinatoria y Binomio de
Newton” de Eduardo Coppetti por entender que las ideas que se tratan en
esta unidad están claramente expuestas por dichos autores en sus obras.
Por otro lado se agregaronalgunos ejemplos, y propiedades y se
modificaron demostraciones que aparecen en los libros antes mencionado
tratando de ajustar este material de mejor manera al espíritu del programa
vigente

Reglas de la suma y del producto
• Regla de la suma
Si una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda
tarea puede realizarse de k formas y no es posible realizar ambas tareas de
manerassimultaneas, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden
realizarse de m+k formas.
Ejemplo: La biblioteca del Ce.R.P. del Centro tiene 40 libros de Sociología y 10 de
Matemática. Por la regla de la suma un estudiante del Ce.R.P. puede elegir
40+10=50 libros para estudiar acerca de alguno de estas dos áreas del
conocimiento.
• Regla del producto.
Si un procedimiento se puede descomponer enlas etapas primera y segunda, y si
existen m resultados posibles de la primera etapa y si para cada uno de estos
resultados existen k resultados posibles para la segunda etapa, entonces el
procedimiento total se puede realizar, en el orden dado de m.k formas. (Esta regla
se conoce como el principio de elección)
Ejemplo: Si un grupo de teatro esta integrado por 6 hombres y 8 mujeres los
cualesensayan para los papeles principales (masculino y femenino por la regla del
producto, el director puede elegir a la pareja principal de 6x8=48 formas.
A veces es necesario combinar varios tipos de diferentes conteos en la solución
de un problema.
Ce.R.P Centro

1
Prof. Ariel Mazza

Fundamentos de Matemática

Área Matemática

Ejemplo: En algunas de las primeras versiones de programación BASIC elnombre
de una variable consta de una letra o de una letra seguido de un número de una
cifra. Como el computador no distingue las mayúsculas de las minúsculas
tenemos 26x10 nombres de variables de una letra seguida de un número y 26
nombres de variables de una letra. Entonces tenemos 26x10+26 nombres de
variables en el lenguaje de programación BASIC.
Para seguir con el análisis de las aplicaciones dela regla del producto contaremos
ahora disposiciones lineales de objetos cuando estos son todos distintos.
Arreglos
Definición: Se llaman arreglos de m elementos tomados de k en k a las
disposiciones lineales que se pueden formar con los m elementos tomándolos de k
en k de modo que dichas disposiciones difieran entre si en el orden de colocación
de los elementos o en por lo menos uno de ellos.
Elnúmero de arreglos de m elementos tomados de k en k se notará
Amk (obviamente m ≥ k )
Notas. i) A veces este símbolo no solo indicará el número de arreglos sino también
a los arreglos
ii) En la notación Amk el índice m designa el número de elementos dados y el
subíndice k que se llama orden de los arreglos designa el número de elementos
que se agrupan.
Formación de los Arreglos
Sea el conjunto A ={a, b, c, d }
•
•

Formemos los arreglos de 4 elementos tomados de uno en uno: a b c d
Los arreglos de 4 tomados de 2 en 2, se forman escribiendo sucesivamente a
la derecha de cada uno de ellos cada uno de los elementos restantes
ab ac ad
ba bc bd
ca cb cd
da db dc
Observemos que cada disposición difiere de la otra en un elemento o en el orden
de colocación.
• Para formar los arreglos de 4...