Unidad 3 1 Serie De Ejercicios

CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 3 FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

1. Realiza la gráfica de las siguientes curvas:
a) r  t    cos t , 2sin t , t 
a) r  t    3cos 2t ,sin 2t ,5
2. Encontrar el dominio de la función vectorial dada.



r (t )  ln(1  t 2 ),sin 1 t , t 2  9



3. Determinar una función vectorial para el segmento de recta entre los puntos P(3, 2, 4) y Q(1,5, 2)
4.Determinar funciones vectoriales que describan los límites de la región en la figura mostrada. Dar el
intervalo correspondiente al parámetro de cada función.
5. Escribir las ecuaciones paramétricas x  sin  t , y  2sin 2  t, z   cos2  t , como una función vectorial
y determinar el intervalo de continuidad.
6. Determinar el intervalo de continuidad de la siguiente función.
1 

r (t )   et,sin 1t ,

t 1 

7. Utilizar un SAC para graficar las curvas dadas.
r(t )   10  sin 20t  cos t, 10  sin10t  sin t, cos 2t 
8. Determinar el intervalo donde la siguiente curva es suave.
r (t )  t , t 2  1, t





9. Una función r (t ) se dice suave en t si su derivada r '(t ) no es cero. Hallar el
intervalo o los intervalos en los que las funciones son suaves:
a)



r (t )  2cos3  , 2sin 3 



1 

b) r (t )   t , t 2  1, t 
4 

10. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.
r (t )   sin t  t cos t , t sin t  cos t , t 2 
, t 0
11. Hallar r (t ) para las condiciones dadas.
a) r(t )   0, 4cos t , 3sin t  , r(0)   0,0,3 , r(0)   0, 4,0 
b) r(t )  12t , 3t 1/2 , 2  , r(1)  (0,1, 0), r(1)  (2, 0,1)

c) r(t )   sec2 t , cos t ,  sin t  , r(0)  (1,1,1), r(0)  (0, 1,5)
12. Hallar la velocidad, rapidez y aceleración para las funciones:
a) r (t )   et cos t , et sin t , et 
b) r(t )   4t ,3cos t ,3sin t 

CÁLCULO VECTORIAL

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CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 3 FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
13. Un helicóptero sigue una trayectoria dada por la función r(t )   5cost , 4sin t ,3t  , las unidades longitud
dadas en kilómetros y las unidades de tiempo dadas en minutos. En el tiempo t  10min , deja cae un
proyectil de masa m  20kg . Despreciando cualquier fuerza de fricción, calcule:
a) la posición en la en proyectil cae,
b) la velocidad a la que cae,
c) la altura máxima que alcanza el proyectil.
14. Supongamos que r  t    t 2 , t 3  2t , t 2  5t  esel vector de posición de una partícula en movimiento:
En qué puntos la partícula pasa por el plano 𝑥𝑦, y cuáles son su velocidad y aceleración en dichos
puntos.
15. Hallar la función vectorial que describe la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 10m
con una velocidad inicial de 28m / s con un ángulo de elevación de 30o . Elaborar una gráfica en algún
software.
16. Un proyectilse lanza desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 480 ft/s a un ángulo de elevación
de 30°. Determinar:
a) Una función vectorial que describa la trayectoria del proyectil.
b) La altura máxima alcanzada.
c) El alcance horizontal máximo.
a) La velocidad del impacto.
b) La longitud de arco de la trayectoria.
17. Un proyectil se lanza desde el nivel del suelo con una velocidad de 98 m/s.Determinar los ángulos
posibles de elevación para que su alcance sea de 490 m.
18. Un bombardero vuela a una altitud de 30,000 pies a una velocidad de 540 mph. ¿Cuándo debe lanzar
una bomba para que pegue en el blanco?, ¿cuál es la velocidad de la bomba en el momento del impacto?
19. Un proyectil se dispara desde el suelo con un ángulo de 8° con la horizontal. Si el proyectil debe tener
un alcance de50 metros, hallar la velocidad inicial necesaria.
20. Evaluar las siguientes integrales:
tet i  (t 2  2t ) j  (t 3  t ) k  dt


a)
1
b)  2  i  t j  t 2 k  dt
t 1
1
t 4

c)   2t  1, x  x ,
 dt
e e t 5 

21. Evaluar la siguiente integral:
1 

a)   sec2 t ,
 dt
1 t2 

22. Relacionar las siguientes ecuaciones paramétricas con su correspondiente gráfica.
a) x  cos...