UNIDAD 3 ALGEBRA LINEAL

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).
ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).
Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=nó m<n.
Los escalares a ij y ci son números reales.
El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.
Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con la s letras x, y, z, t, ...Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4incógnitas.
Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.
El término independiente de la misma es el 2.
3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectassecantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución
¿Qué condiciones deben cumplir lasecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?
Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales
Ejemplo:
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son
Ejemplo:
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el términoindependiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra
Ejemplo:
3.3 Interpretación geométrica de las soluciones
Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:
▲ Un punto único. Sistema  compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.
 

 
 
 
 
 
 

                                              
· Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
 
Los planos se cortan en r.

 
 ▼ Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dosgrados de libertad.
◄ Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.
Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla deCramer.
Eliminación de Gauss
Este método se aplica para resolver sistemas de líneas obteniendo un sistema equivalente:



De donde la notación se usa simplemente para denotar que cambio. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método consiste en la eliminación hacia delante y lasustitución hacia atrás
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema por eliminación Gaussiana

Matriz de Gauss-Jordan
Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente forma:
1 0… 0

0 1... 0

0 0… 1
De donde , y son las soluciones de sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 1
Usar el método de Gauss –...