UNIDAD 3 DE CALCULO

UNIDAD 3 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL.

Funciones vectoriales de una variable real
Usualmente cualquier vector adquiere la forma general F=A + B + C . Cuando los valores de A, B y C dependen de un solo factor, sea t, entonces la ecuación puede ser escrita como F(t) = x(t) + y(t) + z(t)
Un vector de esta forma es llamado función vectorial de una variable real, porque el valor delvector depende de una sola variable, aquí esta variable es t. El valor de la función variará con cada cambio en el valor de t.
Los valores de x(t), y(t) y z(t) se llaman componentes o funciones componentes de F(t). Algunas propiedades de la función principal del vector dependerán de las funciones componentes.
I à Si todas las funciones componentes de una función vectorial F(t)son continuas, sóloentonces la función F(t) es continua. I Ià Para? encontrar la derivada de una función dada, necesitamos encontrar la derivada de los componentes individuales.
Esto es, para F(t) = x(t) + y(t) + z(t)
F’(t) = x’(t) + y’(t) + z’(t)
Ejemplo: F (t) = 3t3i+sint j + etk
Entonces, F’ (t) = 9t2i+cost j + etk
A medida que los valores de ‘t’ cambien, los componentes formarán una curva en un plano 3D,que será el lugar de los puntos x(t), y(t) e z(t). Esto se ilustra con la siguiente figura-
En la figura anterior, a medida que cambia el valor de t en F(t), podemos obtener diferentes valores para los vectores, los cuales son representados como (x(t), y(t), z(t)).
Una función valorada vectorial de dos dimensiones, esto es, una función vectorial de una variable, se denota como f: R  R2. Porejemplo, para algún número real, sea k, una función vectorial de una variable en dos dimensiones puede ser escrita como f(k) = (2k,-k). Aquí, en lugar del 2 puede utilizarse otra constante.
Una función vectorial de dos dimensiones toma un plano y los vectores unitarios que denotan el plano son y . Esto significa que el rango de tal función es bidimensional.
Un concepto interesante en relación a lasfunciones vectoriales es que incluso un vector multidimensional puede ser transformado en un vector de dos dimensiones. Supongamos una función f(x, y, z). Una manera de convertirla en una función de dos dimensiones es (x – y, x22/ z). Esto en cualquier caso no la convertiría en una función de una variable.
Una función vectorial de una variable tiene su dominio sobre el conjunto completo de losnúmeros reales, esto es, R. Sin embargo, no ocurre lo mismo en el caso de todas las funciones. Muchas de las funciones tienen su dominio limitado a sólo unos pocos números reales. Por tanto, el dominio de estas funciones se escribe como,
f: S R  R2
Aquí f es la función dada, y S representa el dominio de la función, la cual es un subconjunto de los números reales. Por ejemplo, sabemos que el dominio dela función log son todos los números reales mayores que cero, por consiguiente, el dominio de la función log(x) + x sería S = = (0, ).















3.1 DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL





Definición de Funciones Vectoriales de Variables Reales
Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyodominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,

De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus...