unidad 3 probabilidad y estadistica

Funciones de distribución de probabilidad:

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango devalores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
Definición:
Dada una variable aleatoria , su función de distribución, , es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice  y se escribe,simplemente, . Donde en la fórmula anterior:
, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.
 es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.
 es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.
 es la variablealeatoria en cuestión, es decir, una función definda sobre el espacio muestral a los números reales.
Propiedades:
Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:
Es una función continua por la derecha.
Es una función monótona no decreciente.
Además, cumple


y
Para dos números reales cualesquiera  y  tal que , los sucesos  y  sonmutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que tenemos entonces que:


y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución  para todos los valores de la variable aleatoria  conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.
Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver unarepresentación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Variables aleatorias y su clasificación:
Para su estudio, las variables aleatorias se clasifican en:
Variables aleatorias discretas
Diremos que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es finito o infinito numerable.
Generalmente, este tipo de variables van asociadas a experimentos en los cuales secuenta el número de veces que se ha presentado un suceso o donde el resultado es una puntuación concreta.
Los puntos del recorrido se corresponden con saltos en la gráfica de la función de distribución, que correspondería al segundo tipo de gráfica visto anteriormente.
 
Variables aleatorias continuas
Son aquellas en las que la función de distribución es una función continua. Se correspondecon el primer tipo de gráfica visto.
Generalmente, se corresponden con variables asociadas a experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo; mediciones biométricas, por ejemplo.
Un caso particular dentro de las variables aleatorias continuas y al cual pertenecen todos los ejemplos usualmente utilizados, son las denominadas variables aleatoriasabsolutamente continuas.
 
Variables aleatorias absolutamente continuas
Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se laclasifica como variable aleatoria absolutamente continua.
A la función f se la denomina función de densidad de probabilidad de la variable X.
Hay que hacer notar que no toda variable continua es absolutamente continua, pero los ejemplos son complicados, algunos utilizan para su construcción el conjunto de Cantor, y quedan fuera del nivel y del objetivo de este curso.
Igualmente indicaremos que los...