UNIDAD 3 RESPUESTA DIN MICA
Páginas: 7 (1620 palabras)
Publicado: 29 de junio de 2015
UNIDAD 3 RESPUESTA DINÁMICA
3.1 SISTEMAS DE 1ER. ORDEN
Considere el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante:
En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalónunitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física.Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformadadeLaplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos
La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que larespuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que
La respuesta alcanzaría el valor finalen t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de 1/ T en t = 0
La curva de respuesta exponencial c(t) ) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, larespuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo quenecesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s 2, obtenemos la salida del sistema como:
Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos:
De este modo, la señal de error e(t) es:
Conforme ttiende a infinito, e -t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a To
La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa.Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema es:
o bien
3.1.1 RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO
Si la entrada es un escalón, donde R(s) = ½ , la transformada de Laplace de la respuesta el escalón es
La respuesta al escalón se obtiene al tomar la transformada inversa de Y(s)
donde k y τ son la gananciadel sistema y la constante de tiempo respectiva- mente.
La ecuación (4.1) está graficada en la figura 4.2
Constante de tiempo
El termino Ϯ se denomina constante de tiempo de la respuesta. De la ecuación (4.1), la constante de tiempo es el tiempo que toma la respuesta al escalón para alcanzar el 63 % de su valor final (figura 4.1b). Como la derivada de e- ½ t es el -1/ Ϯ cuando t = 0, Ϯ es la...
3.1 SISTEMAS DE 1ER. ORDEN
Considere el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante:
En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalónunitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física.Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformadadeLaplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos
La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que larespuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que
La respuesta alcanzaría el valor finalen t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de 1/ T en t = 0
La curva de respuesta exponencial c(t) ) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, larespuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo quenecesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s 2, obtenemos la salida del sistema como:
Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos:
De este modo, la señal de error e(t) es:
Conforme ttiende a infinito, e -t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a To
La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa.Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema es:
o bien
3.1.1 RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO
Si la entrada es un escalón, donde R(s) = ½ , la transformada de Laplace de la respuesta el escalón es
La respuesta al escalón se obtiene al tomar la transformada inversa de Y(s)
donde k y τ son la gananciadel sistema y la constante de tiempo respectiva- mente.
La ecuación (4.1) está graficada en la figura 4.2
Constante de tiempo
El termino Ϯ se denomina constante de tiempo de la respuesta. De la ecuación (4.1), la constante de tiempo es el tiempo que toma la respuesta al escalón para alcanzar el 63 % de su valor final (figura 4.1b). Como la derivada de e- ½ t es el -1/ Ϯ cuando t = 0, Ϯ es la...
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