Unidad 3 Sistema De Ecuaciones Lineales

3.1 DEFINICION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valoresdesconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales deanálisis numérico.

3.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIONES:

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones delsistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución: Loscoeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales
Ejemplo:

2. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son
Ejemplo:

3. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra
Ejemplo:3.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES:

Un sistema con n incógnita se puede representar en n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde intersectentodas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto,las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelenenfocarse desde esta óptica.

x + y = 6; x - y = 2

3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GAUSS-JORDÁN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER:

METODO DE GAUSS:
Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros, mientras que el resultado del término común, se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor dela última incógnita, que permite encontrar el valor de las demás.
Ejemplo:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
4X1 + 5X2 + 6X3 = 24
3X1 + 1X2 - 2X3 = 4
2 4 6 18 /2
4 5 6 24
3 1 -2 4
1 2 3 9 (-4) (-3)
4-4 5-8 6-12 24-36
3-3 1-6 -2-9 4-27
1 2 3 9
0 -3 -6 -12 /(-3)
0 -5 -11 -23
1 2 3 9
0 1 2 4 (5)
0 -5 +5 -11+10 -23+20
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 -1 -3 / (-1)
X1 X2 X3 R
1 2 3 9 Ecuación 2
0 1 2...