Unidad 3

Curso de Apoyo en Matemática

3. RECTA REAL
Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos.
Muchos de los fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para
resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En
esta unidad precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo desituaciones. Para ello, en
principio, daremos la noción de intervalo, y finalizaremos entrenándonos en la resolución de
inecuaciones.

3.1

Intervalos reales

La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea
sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico en nuestra provincia.
El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 a 35 toneladas. Un macho adultomide unos
12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde la playa El Doradillo
considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero.
La temporada de Ballenas se extiende de Junio a Diciembre.
La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que
pueden contabilizarse entre 350 a 400 individuos. Estoconvierte a las aguas vecinas de la
Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur.

Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse
matemáticamente, como veremos a continuación.

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Recta Real

Frecuentemente trabajaremos con subconjuntos de números
reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden.
Así, por ejemplo, hablaremos de
Ensímbolos,

{ x ∈R
123

/ 2 < x < 5}
1424
3

números reales

“los números reales mayores que 2 y menores que 5”

mayores que 2
y menores que 5

o de
En símbolos,

{ x∈R
123
números reales

/

3
x≤ }
1223

“los números reales menores o iguales que

menores o
iguales que 3/2

3
”
2

Otras veces deberemos simbolizar expresiones tales como:
“la cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre
Octubrey Noviembre se halla entre 350 y 400”

En símbolos,
350 < x < 400

Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos.

Intervalo abierto
(a , b)

Si a , b ∈ R y a < b, se define (a , b) = {x ∈ R / a < x < b}.

Gráficamente:
a

Intervalo cerrado
[a , b]

ó

b

a

b

Si a , b ∈ R y a ≤ b, se define [a , b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}.

Gráficamente:
Si a coincide con b ,
el intervalo cerrado es unúnico punto.

a

ó
b

a

b

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Curso de Apoyo en Matemática

Si a , b ∈ R

Intervalos

y a < b se define:

semiabiertos

(a , b] = {x ∈ R / a < x ≤ b }

o semicerrados

[a , b) = {x ∈ R / a ≤ x < b }

Gráficamente:
(a , b] se representa como

a

b

a

b

[a , b) se representa como

En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo,respectivamente.
Ejemplo:
a

b

Extremo inferior

Extremo superior

Atención
Los símbolos - ∞ y + ∞
deben ser considerados con especial
cuidado, recordando que se usan
solamente por conveniencia de
notación y nunca como números
reales.

Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la
recta y a la semirrecta como intervalos, con sólo introducir los
símbolos - ∞ y + ∞.

Así, tenemos
en símbolos
[ c, + ∞ ) = {x ∈ R / x ≥ c } →
( c , + ∞ ) = {x ∈ R / x > c } →

gráficamente
c
c

(- ∞ , d ] = {x ∈ R / x ≤ d } →

d

(- ∞ , d ) = {x ∈ R / x < d } →
(- ∞ , + ∞) = R →
Página 38

d
0

Recta Real

Ejemplos:
[ - 2 ,
2 }

2 ] = {x ∈ R / -

2 ≤ x ≤

→

( - ∞ , - 1) = {x ∈ R / x < -1 }

→

( - 2 , e)

→

 1 4
- , 
 3 3

→

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1) Dados los siguientes subconjuntos de R:
a) A= { x / x ∈ N ∧ - 2 < x < 3 }

b) B = { x / x ∈ Z ∧ - 2 < x < 3 }

c) C = { x / x ∈ Q ∧ - 2 < x < 3 }

d) D = { x / x ∈ R ∧ - 2 < x < 3 }

Recuerda observar a qué conjunto
numérico pertenecen los elementos.
Por ejemplo, en el conjunto B
los elementos son números
“enteros” x tales que - 2 < x < 3.

i) Analizar los elementos que pertenecen a cada conjunto. ¿Es
posible determinar la cantidad de...