Unidad 3

3. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

3.1 LIMITE DE UNA SUCESIÓN.
3.2 LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL.
3.3 CALCULO DE LÍMITES.
3.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
3.5 LIMITES LATERALES.
3.6 LIMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO.
3.7 ASÍNTOTAS.
3.8 FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO.
3.9 TIPOS DE DISCONTINUIDAD.







































3. LÍMITES YCONTINUIDAD.

3.1 LIMITE DE UNA SUCESIÓN.





3.2 LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL.



El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Imagínate que sufres unapesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuanto lo intentes.  Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite".

Desde el punto de vista delconjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5 ® 4 .... 4,5 ..... 5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) ® 4 ...... 4,3 ..... 4,5 
Ahorabusquemos un número entre 4 y 4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3) ® 4 ....... 4,1 ...... 4,3
Ahora busquemos un número entre 4 y 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1) ® 4 ...... 4,08 .... 4,1
Ahora busquemos un número entre 4 y 4,08 (podemos tomar 4,001 que está entre 4 y 4,08) ® 4 ..... 4,001 .... 4,08

Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4"todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos "acercamos por la derecha". 
                              
Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda". 
                                                   
El concepto de límite está íntimamente ligado alconcepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "lacuenta" de 4 (que es nuestro límite).
x
y = 4 + x
– 0,1
3,9
– 0,01
3,99
– 0,001
3,999
– 0,0001
3,9999

¬ Por izquierda
Por derecha ®
x
y = 4 + x
 0,1
4,1
 0,01
4,01
 0,001
4,001
 0,0001
4,0001

 El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando ytiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x ® 0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y ® 4".

Ya estamos un poco más cerca de poderleer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.




Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor...