Unidad 3A ver 10 nov10

Unidad 3. Técnicas de integración

Duración

HC: 8, HT: 12

Introducción.- Esta unidad está dedicada a la solución de integrales más complicadas que las
vistas hasta la unidad anterior, para lo cual usaremos varias técnicas de integración que nos
permiten resolver esas integrales usando las fórmulas básicas ya conocidas.
Dichas técnicas son: Integración por partes, Integración de potencias defunciones
trigonométricas, Integración por sustitución trigonométrica, Integración por fracciones parciales.

Competencia de la unidad 3.- Resolver integrales definidas e indefinidas mediante la
identificación y el uso de las técnicas de integración correspondientes, para la solución de
diversos problemas de ingeniería, con disposición para el trabajo en equipo y una actitud crítica
y responsable.3.1 Integración por partes.Esta técnica de integración se aplica a un gran número de funciones particularmente a aquellas
que presentan un producto de funciones algebraicas y trascendentes.

Competencia.- El alumno será capaz de identificar la partes del integrando (u y dv) que
mejor se adapte a la formula general de integración por partes.

Existe una recomendación que ayudará a resolver con mayorfacilidad este tipo de integrales,
la cual consiste en:
Tomar como
y como

a la parte del integrando cuya derivada resulte en una función más sencilla que
a la parte restante, la cual deberá tener una fórmula básica de integración

aplicable.
Ejemplo 1.- Encontrar

.

Solución.- Para aplicar la integración por partes es necesario escribir la integral en la forma
Hay varias maneras de hacer esto.1era. opción 
2da. Opción 
1

3era.opción 
La gráfica de

se observa en la figura de abajo.

Si seguimos la recomendación arriba mencionada, seleccionaremos la primera opción porque
la derivada de = es más simple que ,
=
se adapta a una formula básica de la
integración.

Si aplicamos la fórmula de integración por partes obtendremos

=

Ejemplo 2.- Encontrar:
Sean

Entonces,

2

Ejemplo 3.-Encontrar:

La gráfica de la función

se muestra en la figura de abajo.

Primero procederemos a hacer un cambio de variable para simplificar el problema.

Tomando a
Ahora apliquemos integración por partes tomando a
,
Por lo que

Al reemplazar w por

, entonces

se obtiene:

3

Ejemplo 4.- Encontrar:

En al siguiente figura se observa la gráfica de a función

y el área delimitada.

Sean
entonces,por lo tanto

4

Ejemplo 5.- Encontrar

Ejemplo 6.- Calcule el área de la región acotada por la curva
rectas

x=

y

x=

, el eje “x” y las

.

5

Podemos observar en la figura el área que se delimita con la información proporcionada en el problema,
por lo que procedemos a encontrar la integral correspondiente.

6

Ejercicios para Taller sección 3.1

Ejercicio 1.- Encontrar:
A fin de determinarlas sustituciones de u y dv, tenga en mente que para obtener v debe
integrarse dv. Esto sugiere que considere
Entonces,

Ejercicio 2.- Encontrar:
Sean

Entonces,

aplicamos doble integración por partes
Entonces obtenemos:

Ejercicio 3.- Encontrar:
Sean

Entonces,

7

=

Ejercicio 4.- Encontrar:

Sea

La integración por partes produce ahora

Algunas integrales requieren integrar por partes más deuna vez.

Ejercicio 5.- Encontrar
Solución La porción más complicada del integrando que puede integrarse fácilmente es
para hacer

y

La integración por partes produce

8

Ejercicio 6.- Determine el área de la región limitada por la curva y = ln x, el eje “x” y la
2
recta x = e .

9

Ejercicios de Tarea sección 3.1
1.Solución.2.Solución.- x ln 5x – x + C
3.Solución.4.Solución.5.Solución.-6.Solución.7.Solución.8.Solución.-

9.- Determine el área de la región limitada por la curva

, el eje “x” y la recta X = 4.

10

3.2 Integrales trigonométricas.Competencia.- El alumno será capaz de identificar cual de los diferentes casos que se
presentan, mejor se adapta a la solución de un problema dado de la integración trigonométrica.
A continuación se mostrarán los diferentes casos que en su...