Unidad 4 De Ecuaciones Difrerenciales

4.1.1 Sistemas de EDL.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una que se puede escribir en la forma
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donde P y Q son funciones continuas en un determinado intervalo. Este tipo de ecuación se presenta con frecuencia en varias ciencias. Un ejemplo de una ecuación lineal es  porque, para , se puede escribir de laforma
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Observe que esta ecuación diferencial no es separable porque es imposible factorizar la expresión para  como una función de  por una función de . Pero aún se puede resolver la ecuación si se nota, por la regla del producto, que
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y, por lo tanto, la ecuación se puede reescribircomo
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Si ahora se integran ambos lados de esta ecuación, se obtiene
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o

Si se ubiera tenido la ecuación diferencial de la forma , se habría tenido que tomar el paso preliminar de multiplicar cada lado de la ecuación por . Resulta que toda ecuación diferencial lineal de primer orden sepuede resolver de un modo similar al multiplicar ambos lados de la ecuación  por una función adecuada  llamada factor de integración. Se intenta hallar  de modo que el lado izquierdo de la ecuación , cuando se multiplique por , se convierta en la derivada del producto .
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Si se puede hallar tal función I, en tal caso la ecuación  se convierteen
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Al integrar ambos lados, se debe tener
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de modo que la solución sería:
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Para hallar tal I, se desarrolla la ecuación  y se cancelan términos-------------------------------------------------

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Esta es una ecuación diferencial separable para I, que se resuelve como sigue:
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Donde . Se busca un factor de integración particular, no el más general, así que se toma  y se usa
---------------------------------------------------KenRi 22:38 30 sep 2009 (CST)

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Ejemplo 1

 entonces tenemos que S=3 S=2 B=1 A=-1

por lo tanto

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Ejemplo 2

 con condiciones iniciales  y 

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Ejemplo 3:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones para x(t)& y(t):

I)  
II) 
y con Valores iniciales: 
Aplicando Laplace a las 2 ecuaciones obtenemos
I)
II)
Utilizando el metodo de suma y resta, mediante => I - 2*II, obtenemos

por fracciones parciales obtenemos

Aplicando Laplace inversa para encontrar y(t) nos da como resultado
*
*
*
Ya obtuvimos y(t). Para obtener x(t), Sustituimos Y(s) en la ecuacion II

yfinalmente aplicando Laplace inversa para encontrar x(t), nos da como resultado
*
*
*

4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos.
Anteriormente trabajamos con sistemas de ecuaciones lineales de la forma:
 

 
donde las  a’s  y  las  b’s  son números reales.
 
Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2,b3, …, bn son...