Unidad 4 Ensamble De La Matriz

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Unidad 4
Ensamble de la matriz de rigidez de una estructura
Objetivo
Enseñar a ensamblar la matriz de rigidez total de una estructura.

Síntesis
La matriz de rigidez de una estructura es de tamaño nxn, donde n es el número de grados de
libertad. Esta matriz se obtiene al sumar las matrices de rigidez de todos los miembros,
previamente transformadas a coordenadas locales y expandidas al tamañonxn.
El llamado método de la rigidez usa las propiedades de rigidez de los miembros que
componen una estructura para formar un sistema de ecuaciones simultáneas que relacionan
los desplazamientos de una estructura con las cargas que actúan sobre la misma. El sistema
es de la forma:
Q = KD
Ecuación 4.1
Donde:
Q=
K=
D=

vector columna de las cargas externas.
matriz de rigidez de la estructura.vector columna de los desplazamientos externos.

Los desplazamientos correspondientes a un sistema dado de cargas externas se obtienen al
resolver el conjunto de ecuaciones simultáneas. A su vez, las fuerzas internas en los
miembros de la estructura se obtienen a partir de los desplazamientos calculados y de las
propiedades de rigidez de cada miembro. El método de la rigidez puede usarse para elanálisis de una gran variedad estructuras, aún las más grandes y complejas.

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En este capítulo se mostrará cómo ensamblar la matriz de rigidez K de una estructura. El
primer paso que se debe dar es expresar las matrices de rigidez de los miembros en
coordenadas globales.

Transformación de la matriz de rigidez de un miembro de coordenadas
locales a globales
Las matrices de rigidez de miembros vistasen la Unidad 2 relacionan las fuerzas con los
desplazamientos en las que tanto las primeras como los últimos están expresados en
coordenadas locales, es decir, en un sistema de referencia orientado como lo está el
miembro estructural (Ecuaciones 2.3, 2,5, 2.6, 2.8, 2.9 y 2.10).
se pueden expresar
genéricamente así

Estas ecuaciones
{ }

[

]{

}

Ecuación 2.3
{

}

[

]

Donde:
{

}

q= vectorcolumna
de las
fuerzas
internas
en
coordenadas
locales.

Ecuación 2.5
{

}

[

]
{

}

Ecuación 2.6
{ }

[

]{

= matriz de
rigidez
del
miembro
en
coordenadas
locales.

}

Ecuación 2.8
⁄

⁄
⁄

⁄
{

}

[

⁄
⁄

⁄
⁄

⁄
⁄

⁄
⁄

Ecuación 2.9

⁄
⁄

⁄
⁄

⁄
⁄

⁄
⁄

]{ }

d = vector columna
de los
desplazamientos en
coordenadas
locales.

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⁄

⁄

⁄
⁄

⁄

⁄

⁄
⁄

⁄
⁄
⁄

{

}

⁄

[

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄
⁄

⁄⁄

⁄

⁄
⁄ ]

{

}

Ecuación 2.10

Para efectos de obtener una matriz de rigidez general de la estructura es necesario que todas
y cada una de las matrices de rigidez de sus miembros se expresen en coordenadas globales,
es decir, en un sistema de referencia único para toda la estructura. La forma de estas
ecuaciones transformadas es:

Donde:
Q=
k =
D=

vector columna de las fuerzas internas encoordenadas globales.
matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales.
vector columna de los desplazamientos en coordenadas globales.

La transformación de la matriz de rigidez de un miembro de coordenadas locales

a

globales (k) puede lograrse con la matriz de transformación de desplazamientos A.

Reemplazando la Ecuación 3.1 en la Ecuación 4.1 se tiene:

Ahora bien, puesto que los vectoresde fuerza y desplazamiento en cada caso tienen la
misma orientación y sentido, la matriz de transformación de desplazamientos A, también
relaciona los vectores de fuerzas expresados en ambos sistemas de coordenadas, es decir:

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Donde:
Vector de fuerzas en coordenadas locales
Vector de fuerzas en coordenadas globales
A=

Matriz de transformación de desplazamientos

Además, en todos los casos severifica que A es una matriz ortogonal, es decir una en la que
la transpuesta (AT) es igual la inversa (A-1), y por lo tanto de la Ecuación 4.4 puede decirse
que:

Reemplazando la Ecuación 4.3 en la Ecuación 4.5 se obtiene:

Por último, comparando las Ecuaciones 4.2 y 4.6 puede concluirse que:

La Ecuación 4.7 se aplica a todos los miembros para obtener para cada uno de ellos la
matriz de...