UNIDAD 4 ESTADISTICA APLICADA ALA ADMINISTRACION

4.2 Probabilidad y teoría de conjuntos.

4.2 Leyes de la probabilidad.

Axiomas y teoremas de la probabilidad

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

AXIOMAS
 1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
 0 £ p(A) ³ 1

2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debede ser 1.
p d) = 1

 3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B) Generalizando:
 Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;
 p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)



TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.
  p(f)=0DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD
 
TEOREMA 2.
La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)
DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1,por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .


TEOREMA 3.
Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).
DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B).

 TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)
 DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera,entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).

 TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).
DEMOSTRACIÓN: Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anteriortomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).

4.4 Probabilidad y teoría de conjuntos.

4.4 Árboles de probabilidad.

Diagrama de Árbol.



DIAGRAMA DE ARBOL.
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
 Ejemplos:
1. Un médicogeneral clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

 
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas quepodemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc. 
Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,
 
Solución:
A = gana el equipo A
B = gana el equipo B

 Eneste diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;
AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc. 




Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se vaa retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.
  
Solución:

 
 
Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama...