UNIDAD 4 estadistica

UNIDAD 4
Distribuciones de probabilidad continuas.
Objetivo educacional: conocer y aplicar conceptos de variable aleatoria continua, con base a situaciones reales o simuladas.
Definición de variable aleatoria continúa:

La función de la densidad para una variable aleatoria continua siempre debe satisfacer las tres propiedades que se indican en siguiente.

Si f(y) es la función dedistribución acumulativa para una variable aleatoria continua y entonces la función de densidad f(y) para y es.
La función de densidad para una variable aleatoria continua y que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua.

Función de densidad y acumulativa
Una función que ofrece la probabilidad total de obtener un resultado de una variable aleatoria que varíadesde el valor más bajo posible para la variable aleatoria hasta cualquier valor específico de interés.
Por ejemplo, podemos preguntar cuál es la probabilidad de que algún tipo de interés (tal como el LIBOR a seis meses) sea del 5% o menos dentro de un año a partir de hoy. Las funciones de densidad acumulativa se derivan de las funciones de densidad de probabilidad. También se conoce como función deprobabilidad acumulativa.
Una función de densidad de probabilidad es un modelo teórico para esta distribución.
La función de probabilidad acumulada o función de distribución de una variable aleatoria  sobre , denotada por , es definida por la relación

Valor esperado, varianza y desviación estándar.
Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). Se llamaesperanza matemática o valor esperado, valor medio o media de X al número real.
∫ ∞ E(X ) = μ = x f (x)dx
Como valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida de centralización.

La varianza es la medida del cuadrado de la distancia promedio entre la media y cada elemento de la población. Sea X una variable aleatoria continua con distribución deprobabilidad f(x) y media μ. La varianza de X es calculada por medio de:
La Desviación estándar es una medida de dispersión de la misma dimensión física de la variable.
Raíz cuadrada positiva de la varianza; una medida de la dispersión, expresada en las mismas unidades de los datos originales y no en las unidades cuadradas de varianza.




Distribución uniforme continua.
La distribución continua mássencilla es análoga a su contraparte discreta, una variable aleatoria continua X con función de probabilidad.

Tiene una distribución uniforme continua.

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme continua.
La media de la variable aleatoria uniforme continua X es:



Distribución exponencial.
La familia de las distribuciones exponenciales proporciona modelos deprobabilidad que son ampliamente utilizados en ingeniería y ciencias.
Se dice que X tiene una distribución exponencial si la pdf de X es


La pdf exponencial es un caso especial, de gamma general, en la que =1 y  ha sido sustituida por 1/, [algunos autores emplean la forma (1/)e-x/]. La media y la varianza de X entonces son:

La diferencia de pdf gamma general, la pdf exponencial sepueden integrar fácilmente.
Distribución gamma (Erlang)
Resulta que la distribución exponencial es una cosa especial de la distribución gamma. Ambas encuentran un gran número de aplicaciones . Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante en teoría de colas y problemas de confiabilidad. La realidad entre la gamma y la exponencial permite que la gamma se involucre en tiemposde problemas similares.
La distribución gamma, deriva su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en muchas áreas de las matemáticas. Antes de que procedemos con la distribución gamma, revisemos esta función y algunas de sus propiedades importantes.

La función gamma se define como:

Al integrar la formula u= obtenemos

Distribución normal
La distribución normal es la más...