Unidad 4



























4.1. Definición de derivada.
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervaloconsiderado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.




4.2 interpretación geométrica y física de la derivada.
Interpretación de laderivada
Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)

Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los quela recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.





Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla lascoordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.







Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx +3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).



Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espaciorespecto al tiempo.



Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.




¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se muevesegún la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.



Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.


2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10horas.





4.3. Derivadas de la función constante (manejo de fórmulas)
Derivada de la función constante
La derivada de la función constante es cero.

Ejemplo




4.4. Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e
La derivadade la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.


Ejemplos




4.5 derivada de una funciones trigonométricas.
es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x),...