Unidad 5 La INTEGRAL

Unidad 5 La INTEGRAL
5.1 antiderivadas
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otraantiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

5.2 integración por formula
5.2.1 Algebraicas
5.2.2 Exponenciales
Introduciremos ahora el concepto matemático de integral exponencial, el cualresultará de suma utilidad no sólo para simplificar los cálculos, sino también para clarificar la interpretación de ciertas expresiones que deduciremos en la siguiente sección.

Se define la integral exponencial de orden n como una integral impropia de la siguiente manera :


, (7.28)

en la cual n debe ser unnúmero entero mayor o igual que la unidad. Una vez fijado el parámetro n, la integral En(x) resulta una función estrictamente decreciente de la variable x. De la definición resulta en forma inmediata el valor de la integral exponencial de orden n en el origen (x = 0) :

(7.29)


Luego: E1(0) = ¥,E2(0) = 1, E3(0) = 1/2, E4(0) = 1/3, etc. Además, de (7.28) se desprende que para valores suficientemente grandes de la variable x, las integrales exponenciales tienden a anularse, cualquiera sea el orden de n. La forma de las integrales exponenciales se ilustra en la Figura (7-9).
















5.2.3 Logaritmica
Son las integrales de funciones del tipo k⋅x −1   y se resuelven:∫k⋅1x  dx=k∫x −1  dx=ln|x|+C 
pues
ddx (kln|x|+C)=ddx kln|x|+0=k⋅ddx ln|x|=k1x  
Observemos que el resultado es el logaritmo del valor absoluto, pues no existe el logaritmo de un número negativo.
Por las propiedades vistas en los logaritmos, si a>0  :
∫1x⋅lna  dx=log a |x|+C 
Ejemplo
∫1x  dx=ln|x|+C 
∫15⋅1x  dx=15∫1x  dx=15ln|x|+C 
∫1xln5  dx=log 5 |x|+C 


5.2.4 Trigonométrica
Recuerda que en ladefinición de una antiderivada que, si
d
dx

 f(x) = g(x), 
entonces

g(x)dx = f(x) + C.
Es decir, cada vez cuando tenemos una fórmula de diferenciación, obtenemos una fórmula de integración automáticamente. Aquí esta una lísta de algunos de ellos.
Regla derivada
Regla antiderivada
d
dx

 sen x = cos xcos x dx = sen x + C
d
dx

 cos x =  − sen x

sen x dx =  − cos x + C
d
dx

 tan x = sec2x

sec2x dx = tan x + C
d
dx

 cotan x =  − cosec2x

cosec2x dx =  − cotan x + C
d
dx

 sec x = sec xtan x

(sec xtan x)dx = sec x + C
d
dx

 cosec x =  − cosec xcotan x

(cosec xcotan x)dx =  − cosec x + C

5.2.5 Por partes
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando lafórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'
Caso 1
En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.





5.3 integral definida concepto
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas.Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral...