Unidad 5 Relaciones Parte 1

Unidad 5 Relaciones
Definición.- una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación la relaciones se utilizan en base de datos, estructura de datos, redes, autómatas y lenguajes.
Pero la forma de tratar las relaciones independientemente del área del conocimiento, es muy importante por lo que la información tratada en este tema es degran utilidad.
Las funciones es una clase especial de relación y se utiliza prácticamente en todas las áreas de las matemáticas, en particular en cálculo diferencial e integral, geometría analítica, trigonometría y álgebra.
Elementos de una relación.
Una definición más clara de relación es la siguiente: dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R es un conjuntos de pares ordenados endonde el primer elemento a está relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o característica. La relación se indica como aRb.
R = {(a,b) | a  A y b B}
Por ejemplo, sean los conjuntos
A = {a | a  Z; 1  a  10} B = {b | b  Z; 1  b  5}
Y sea R una relación de A en B, en donde el elemento a  A y es par, y b  B y es impar.
Como resultado se obtiene lasiguiente relación
R = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5), (8,1), (8,3), (8,5), (10,1),
(10,3), (10,5)}
Hay que observar que las relaciones también se pueden representar como un conjunto de pares ordenados. Otra forma de representar este conjunto es:
R = {(a,b) | a  A; b  B; donde ‘a’ es par, y ‘b’ es impar}


Producto cartesiano.
El producto cartesiano de los conjuntosA y B que se denota como A x B, es la combinación de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B. en teoría de conjuntos equivale al conjunto universo.
Una relación R de A en B (R: A  B) es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Si R  A x B y (a,b)  R, entonces a su vez el producto cartesiano también es una relación.
Por ejemplo. Sean los conjuntos
A ={1, 2, 3}, B = {a, b}
El producto cartesiano A x B contiene todos los pares ordenados que resultan de relacionar todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B, como se muestra en la siguiente figura:





A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Relación binaria
No siempre los elementos de la relación son pares ordenados, ya que pueden tener más de doselementos como en el siguiente caso:
R = {(a, 1, ), (a, 2, ), (b, 1, ), (c, 3, ), (c, 2, )}
Aquí la relación está formada por tercias de elementos pertenecientes a los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, C = {, }. En este caso se trata de una relación terciara y no binaria, ya que los elementos no son pares ordenados sino tercias.
Una de las relaciones más importantes en la computación esla relación binaria, ya que se puede representar por medio de una matriz, tabla o gráfica. Además de ser más fácil de manejar, se le llama relación binaria porque sus elementos son pares ordenados que se forman a partir de dos conjuntos
En toda relación de pares ordenados no vacía se tienen dos conjuntos: el dominio de R (Dom(R)), que es el conjunto de todos los primeros elementos de los paresde una relación el cual es un subconjuntos del conjunto A (Dom(R)  A), y el codominio de R (Cod( R)), conjunto que está formado por los segundo elementos de los pares de la relación R y que también es un subconjunto de B (Cod( R)  B).



Por ejemplo, sean los conjuntos
A = {2, 4, 5, 6, 7, 11} y B = {b | b  Z; 1  b 10}
Considérese que aRb si y solo si b es divisible entre a. por lo tanto,los elementos de la relación son.
R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (4,4), (4,8), (5,5), (5,10), (6,6), (7,7)}
Dom(R) = {2, 4, 5, 6, 7}
Cod(R) = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

Matriz de una relación
Si A y B son dos conjuntos finitos con m y n elementos, respectivamente, y R es una relación de A en B, entonces es posible representar a R como una matriz MR= [mij], cuyos elementos se definen...