Unidad 5 "SERIES" Cálculo integral

5.1 DEFINICIÓN DE SERIE

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie.
Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo desumatorio:
Para cualquier sucesión matemática de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parcialesasociadas.





Si la serie existe y es un número real, converge.
Si la serie no existe se vuelve infinito, y por lo tanto diverge.








5.1.1 SERIE FINITA

Son las que tienen un número limitado de términos

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que laserie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".
Así por ejemplo.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita

EJEMPLO
Sea f lafunción definida por f(x)= 2m; m" {1, 2, 3, 4}
f(1)= 2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
(2, 4, 6, 8)
f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]







5.1.2 SERIE INFINITA


Si (Un) es una sucesión y
Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un
Entonces (Sn) es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota porLos números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita
Donde n toma el valor absolutamente de todos los números naturales.
EJEMPLOS
Sea la serie infinita

a. Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales.
(Sn) Solución:
a) Como Sn= Sn-1 + Un










5.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA.
PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE D’ALEMBERT) Y PRUEBADE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY)

Si {an} es una sucesión de números reales, se define la serie de término general an y se escribe    como:   

Si este lımite de la enésima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es
convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razón)
Sea una serie Ʃk=1(ak), tal que ak > 0 (serie detérminos positivos).
Si existe

Con {L €[0,+ ∞)} , el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio

Criterio de Cauchy (Raíz Enécima)
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamosque existe
, siendo 
Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
5.3 SERIE DE POTENCIAS
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es unaserie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión.

Una serie de potencias es una serie de la forma:




donde x es una variable y las Cn son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x  establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de...