UNIDAD 7_FUNCIONES

UNIDAD 7: FUNCIONES
Antes de comenzar el estudio de las funciones se debe hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con
algunas de sus propiedades, debido a que dicho concepto será utilizado en esta unidad.
7.1 VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:
 x si x  0
x 
 x si x  0

Además:
x2  x




x  a  x  a



x  a  a  x  a



x  a x  a o x  a

7.2 FUNCIÓN
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D llamado Dominio, exactamente un
elemento f x  de un conjunto I , llamado Imagen. Tal asignación se puede expresar claramente mediante el
siguiente diagrama sagital:

Se acostumbra a hacer explícito el valor de la función f evaluada en un valor x de la siguiente manera
y  f x  , donde x es lavariable independiente y y es la variable dependiente.
Ejemplo No. 102
Dada la siguiente función f x  
Solución:

18
, exprésela como una ecuación y halle f  2
x x
2

Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la
función evaluada en x haciendo y  f x  , por lo tanto:
y

18
x x
2

WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

Página 122Por otro lado, f  2 

18
 3  f  2  3
 2   2
2

El resultado anterior se puede entender mejor mediante el siguiente diagrama sagital:
7.2.1 Dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de tal manera que la
función esté bien definida.
7.2.2 Imagen de una función
La imagen de una función es el conjunto de valoresque tomará la variable dependiente.
Ejemplo No. 103
Halle el dominio de las siguientes funciones:
a.

f x  

b.

f x   4  x 2

c.

f x   x 2  x  2

18
x x
2

Solución:
a. La función f x  

18
está bien definida si x 2  x  0 . Es decir, si:
x x
xx  1  0  x  0 y x  1  0
Entonces x  0 y x  1
Por lo tanto D  x  R : x  0  x  1  R  0,1
D   , 0  0, 1  1,
2

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

b. La función f x   4  x 2 está bien definida si 4  x 2  0 . Es decir, si:
x 2  4  x 2  4  x 2  4  x  2   2  x  2

Por lo tanto D  x  R : 2  x  2
D   2, 2

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

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c. La función f x   x 2  x 2 está bien definida si x 2  x  2  0 . Es decir, si x  2x  1  0
x  2x  1 es mayor o igual que cero si x  2  0  x  1  0  x  2  0  x  1  0
Para determinar cuáles valores de x cumplen con la anterior condición se debe hacer lo siguiente:

  x  2  0   x  1  0      x  2  0   x  1  0 
 x  2  x  1    x  2  x  1 
 ,2 ,1   2,   1, 
 ,2  1, 
Por lo tanto D  x  R : x  2  x  1
D   ,2  1, 
La representación gráfica del dominio es la siguiente:

Ejemplo No. 104
Un recipiente rectangular con su parte superior abierta tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su largo es el
doble de su ancho. El material para construir la base cuesta 10 dolares el m2 y el material para los ladoscuesta 6
dolares el m2. Exprese el costo del material en función del ancho de la base.
Solución:
Se sabe que:
Costo del material ( C ) = Costo de la base ( CB ) + Costo de los lados ( CL )
Pero:
CB = 10 x Área de la base ( AB ) y CL = 6 x Área de los lados ( AL )

Dónde:

AB  2 x x   AB  2x 2
AL  xh  xh  2xh  2xh  AL  2 xh  4 xh

Por lo tanto:

 

CB  10 2 x 2  CB  20x 2
CL 62 xh  4 xh   CL  36 xh

Lo que da como resultado final: C  20 x 2  36 xh
Pero se debe expresar el costo del material C en función del ancho x de la base del recipiente. Para tal efecto se
debe tener en cuenta que el volumen V del recipiente es 10 m3, es decir V  10
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

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Pero V  2 x x h)  2 x 2 h  V  2 x 2 h ....