Unidad 9 utilicemos la trigonometria

GUION DE CLASE
UNIDAD 9: “UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA” ASESOR: LIC. FRANCISCO ASDRUBAL HERNANDEZ. PRACTICANTES: ROBERTO ALEXANDER TOBAR Y MARIA DE LOS ANGELES ROSALES REINA. GRADO: 2° AÑO DE BACHILLERATO SECCIÓNES: 2 “D” y “C”

OBJETIVO: Proponer soluciones, aplicando las funciones, identidades y ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar y explicar el comportamientode fenómenos escolares y sociales.

CONTENIDO: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Tiempo estimado 4 Horas Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclosbiológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.

TEMA 1: Círculo Trigonométrico o unitario
Definición: se llama círculounitario a aquel cuyo radio mide una unidad. A continuación se presenta la figura de la circunferencia unitaria.

(0,1) P( t )

r=1
(-1,0)

t

(1,0)

(0,-1)

f ig. 1

Tenemos en el plano el circulo de radio 1 con centro (0,0). En ella distinguimos el punto (1,0), que es el punto de intersección del círculo con el semieje de las x positivas. Si partiendo de dicho punto en sentido antihorario, marcamos sobre el circulo un arco de longitud t, éste determina un punto P(t), el cual pertenece al círculo. Véase Fig.1

El punto P (t) obviamente depende de nuestra elección de t, y es claro que para cada

,

tenemos un único punto P(t). Entonces P (t)es una función de t. El punto P(t) está determinado por sus coordenadas P(t)= (x( t ) , y( t )) y por lo tanto, cada una de esascoordenadas es una función de la longitud del arco t. Véase Fig.2
(0,1) ( x(t) , y(t) )

1
y (t) (-1,0) x( t )

t

(1,0)

(0,-1)

f ig. 2

Como sabemos, la longitud del círculo es 2π y entonces, para cada t tal que

, tenemos

un punto que pertenece al círculo. Recíprocamente, todo punto del circulo es P(t) para algún t que cumple . Por otra parte es claro que y que si tomamos, volvemos a recorrer nuestro circulo. Más aún esto ocurre en cada intervalo . Es decir, cada vez que t toma un valor de la forma 2kπ, el punto P(t) vuelve a empezar a recorrer el circulo en sentido anti horario y da una vuelta completa cuando t recorre el citado intervalo .

Podemos ahora extender la definición de nuestra función P(t) a todos los números reales. Nos falta definir P en los t <0, en este caso, definimos P(t) como el punto del circulo cuyo arco tiene longitud , medido desde (1,0) en sentido horario sobre el circulo. Véase Fig.3

(0,1)

(-1,0)

x( t ) y (t)

(1,0)

t
P( t ) (0,-1)
f ig. 3

Antes de continuar debemos recordar que la longitud de arco de una circunferencia se determina por medio de la formula , donde es el ángulo que se traspone a la longituddel arco, y

es el radio de la circunferencia. Véase Fig.4

r  r

S

f ig. 4

De lo anterior podemos deducir lo siguiente. Sabiendo que el radio del círculo trigonométrico es 1, determinemos la longitud de arco de este, para cualquier ángulo. Lo cual quedaría de la siguiente manera:

Evidentemente la longitud de arco es igual a cualquier ángulo que tomemos. Anteriormente habíamosdenotado la longitud de arco como “t”, la cual según lo anterior determina también el ángulo que se opone a este. También habíamos dicho que el punto P(t), esta determinado por las coordenadas (x(t), y(t)). Sabemos que un punto en el plano está determinado por el valor que tome “x” y “y”, lo cual en nuestro caso, cada uno es una función de “t”. Ahora la cuestión seria ¿Se puede determinar el valor...