Unidad II Limites C Lculo II 1

Apunte N 2: Límites Cálculo II
Instituto Profesional ESUCOMEX
Profesor: Freddy Álvarez M.

JUNIO - 2015

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CONCEPTO DE LÍMITE Y CONTINUIDAD
La principal distinción entre el cálculo y álgebra es el concepto de límite. En palabras simples, el
proceso de límite consiste en examinar el comportamiento de una función
cuando se
aproxima a un número , que puede estar o no en el dominio de . Un ejemploclásico para
entender el concepto de límite se da en el caso de querer estimar la velocidad de un móvil en un
punto específico del tiempo. La velocidad promedio de un móvil se puede definir como el cociente
entre la distancia recorrida (ej. Kilómetros (km)) y el tiempo transcurrido al recorrerla (ej. Horas
(h)). De esta forma, se puede escribir la función de la velocidad promedio como ladiferencia entre
la distancia recorrida final y la distancia inicial (punto inicial desde donde nos interesa medir la
velocidad) dividido el tiempo final menos el tiempo inicial. Esto puede ser expresado de la
siguiente forma:

Sin embargo, para poder calcular la velocidad promedio es necesario que el denominador de la
expresión anterior sea distinto de cero, es decir,
(pues la división por cero no tienesentido). Debido a lo anterior, la pregunta relevante en este caso es cómo se puede determinar la
velocidad del móvil en un punto del tiempo específico (por ejemplo en
).
Una forma aproximada de obtener este valor es asumiendo que podemos considerar un lapso de
tiempo desde lo suficientemente pequeño, tanto desde la derecha de la función como desde la
izquierda de la función, que nos permitacalcular la velocidad aproximada en el punto intermedio
de ambos pequeños lapsos de tiempo. Por ejemplo, supongamos que la función que determina la
distancia recorrida según el tiempo transcurrido se define de la siguiente manera:

Si queremos encontrar la velocidad en un punto específico del tiempo, tal como
,
podemos definir dos lapsos de tiempo, uno entre 0.5 y 0.51, y otro entre 0.49 y 0.5. Si secalcula la
velocidad en ambos lapsos obtendremos 12.84 (km/h) para el primera caso y 13.16 (km/h) para el
segundo. Al tomar lapsos cada vez menores, ambos valores se irán acercando cada vez más. El
valor en que ambos valores coinciden es el límite que nos interesaba encontrar en este ejercicio.
Este ejemplo también puede ser examinado de forma gráfica. Asumamos que la línea curva en la
siguientefigura es una función
que toma como insumo el valor del tiempo transcurrido y da
como resultado la distancia recorrida. Como ya lo acabamos de ver, la velocidad promedio entre
dos puntos se define como
. Esta expresión, tal y como fue revisado
en los apuntes de las Funciones, corresponde al cálculo de la pendiente de una línea recta. En el
gráfico, la recta que une los puntos
y
representa el conceptode la velocidad
promedio entre ambos puntos. A medida que
se va acercando a
la pendiente va
cambiando y se va acercando hasta el valor de la velocidad en el punto específico .

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Distancia

d1

d0

(t1,d1)

(t0,d0)

t0 = c

Tiempo

t1

El proceso de límites se aplica en muchos contextos. Considere el ejemplo en el que un gerente
determina que cuando se está utilizando un porcentaje de lacapacidad de la planta de su
compañía, el costo total es:

Cientos de miles de dólares. La compañía tiene la política de rotar el mantenimiento de tal forma
que nunca se utiliza más del 80% de su capacidad. La pregunta en este caso es cuál sería el costo
esperado si la planta opera a toda la capacidad permitida (es decir, 80%). Si bien, la respuesta
pareciera encontrarse con tan sólo con evaluar lafunción de costos en 80, lo que se obtiene al
realizar este ejercicio es una fracción que no tiene sentido ( ). Sin embargo, tal y como lo muestra
la siguiente tabla, sí es posible evaluar la función
izquierda y por la derecha:
x
C(x)

x tiende a 80 por la izquierda ->
79.8
79.99
79.999
6.99782
6.99989
6.99999

para valores de

80
-

que tienden a 80 por la

<- x tiende a 80 por la derecha
80.0001...