Unidad II

Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Introducción
Desde hace años se aprendió a usar la formula cuadrática:

x=

− b ± b 2 − 4ac
2a

(01)

Para resolver

f ( x) = ax 2 + bx + c = 0

(02)

A los valores calculados con la ecuación (01) se les llama “raices” de la ecuación (02). Éstos
representan los valores de x que hacen a la ecuación (02) igual a cero. Por lo tanto, se puededefinir a
la raiz de una ecuación como el valor de x que hace f(x)=0. Por esta razón, algunas veces a las raices
se les conoce como ceros de la ecuación.
Aunque la formula cuadrática es útil para resolver la ecuación (02), hay muchas funciones diferentes
que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos que en lo
sucesivo se describen proporcionan métodoseficientes para obtener la respuesta.
Antes del advenimiento de los computadores digitales, se disponía de una serie de métodos para
encontrar las raices de las ecuaciones algebraicas y trascendentales. En algunos casos las raices se
podían obtener con métodos directos, como se hace con la ecuación (01). Aunque con muchas otras
ecuaciones esto no era posible. Por ejemplo, hasta una función en aparienciasimple tal como
f ( x) = e − x − x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única alternativa es una
técnica de solución aproximada.

Unidad II

Sistemas Algebraicos no Lineales

Métodos Numéricos para Ingenieros

P-01

Ing. Yerson Rodríguez

Métodos Cerrados
Esta unidad trata sobre raices de ecuaciones con métodos que aprovechan el hecho de que una
función en forma típica cambia designo en la vecindad de una raiz. A estas técnicas se les llama
métodos de intervalos o métodos cerrados, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz.
Como su nombre lo indica estos valores deben “encerrar” o estar sobre cualquier lado de la raíz. Los
métodos particulares descritos respecto a este punto emplean diferentes estrategias para reducir
sistemáticamente el tamaño delintervalo y así converger a la respuesta correcta.
Como preámbulo de estas técnicas se discutirán los métodos gráficos para representar funciones y
sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iniciales, también
son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos
numéricos.

Métodos Gráficos
Un método simple para obtener unaaproximación a la raiz de la ecuación f(x)=0 consiste en graficar
la función y observar en donde cruzan el eje x. Este punto, que representa el valor de x para la cual
f(x)=0, proporciona una aproximación inicial de la raiz.

Unidad II

Sistemas Algebraicos no Lineales

P-02

Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Métodos Gráficos
Ejemplo 2.1. Use la aproximación gráfica paradeterminar el coeficiente de rozamiento c necesario
para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caida
libre de t=10s. Nota: La aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2.

Solución.
Este
problema
se
puede resolver
determinando, usando los parámetros t=10, g=9.8, v=40
y m=68.1, la raíz de la ecuación:

f (c ) =

gm
(1 − e − ( c / m ) t ) − v
c

(03)Sustituyendo se tiene:

f (c ) =

667.38
(1 − e −0.146843c ) − 40
c

Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado
derecho de esta ecuación para calcular

40
35
30
25
20
15
10
5

c

f(c)

4

34.115

0

8

17.653

-5

12

6.067

16

-2.259

20

-8.401

Unidad II

4

8

12

16

20

-10
-15

P-03

Sistemas Algebraicos no Lineales

Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Método deBisección
Notese que cuando se usaron las técnicas gráficas, en el ejemplo 2.1, se observó (vease figura) que
f(x) cambió de signo en ambos lados de la raíz. En general, si f(x) es real y continua en el intervalo de
a y b y f(a) y f(b) tienen signos opuestos; esto es,

f (a) f (b) < 0

inicio
(03)
f(x), a, b

Entonces hay al menos una raíz real entre a y b.
El método de bisección aplicado a la...